nocturno

Tear me apart o como descomponer un número en sus factores primos

Posted on 01/02/2008 by cleek

Ya estoy cansado así que hagamos esto lo más rápido e inodoro indoloro posible. Primero vamos a explicar el porque se puede descomponer un número (cualquier número) en un producto de sus factores primos y luego como se hace.

Recordamos como siempre la definición de número primo, que es un número que no puede ser dividido exactamente por ninguno de los números anteriores a él (excluyendo a 1). Antes que se me vaya el santo al cielo, recordamos algunos de los números primos ya por todos conocidos. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …. Con estos espero que nos baste por ahora. Y ahora si a la explicación (si no te interesa la explicación, puedes saltarte el párrafo).

Supongamos que tenemos un número entero positivo cualquiera, digamosle X. Entonces hay dos posibilidades, que X sea 1 o que X no sea 1 (uno) (jajaja) Si X es 1, entonces no hacemos nada porque 1 es el único entero positivo que no puede descomponerse en factores primos. Si X NO es 1, entonces por ser positivo, tiene que ser mayor que 1, entonces hay (otra vez) dos posibilidades, que X sea primo o que X no sea primo. Si X es primo, ya acabamos pues entonces X lo descomponemos como sus factores primos, es decir, los primos que multiplicados den X, osease que X se descompone en X. Si, esto es bastante bobo pero es claro, mira, como X YA es primo, no hay porque descomponerlo, así que simplemente saltamos y bailamos alrededor de cualquier mesa cercana por la alegría de haber terminado. Lo divertido es Si X no es primo, entonces, recordando la definición de número primo (en el segundo párrafo), significa que X SI se puede dividir por algún número anterior a él, digamosle P, y como ese número por ser anterior, no tiene mas opción que ser menor a X. Así que en este caso X es igual a P multiplicado por algún otro número, llamemosle Q a este otro número, entonces también podemos afirmar que Q tiene que ser mas pequeño que X (pues todos los números son positivos), entonces hacemos gala de un argumento recursivo diciendo que podemos aplicar el mismo argumento para P y para Q. Como P y Q son números finitos, hay un número finito de pasos para obtener una descomposición de estos en sus factores primos, ¿porque se tienen que descomponer en factores primos? pues porque si uno de los factores, digamos de P, no fuera primo, aplicamos otra vez el procedimiento y lo dividimos en partes mas pequeñas, y así hasta obtener solo factores primos.

Ya sé que se ve bastante enredado, si no lo entendiste bien leelo otra vez con calma y si no te interesa entenderlo bien puedes seguir y ver la técnica, se pone algo larga la explicación de la técnica por que están todas las divisiones a manita y trae truquitos explicados paso por paso.

Ahora, ¿como se factoriza un número cualquiera?. Digamos 138 600 (uno grande para que se vea bien como va la onda). La técnica más cómoda (a mi parecer) es haciendo una división, de un lado el número y del otro los factores que vayamos sacando. Algo así:

Antes de seguir vamos a dar unas reglitas que te evitarán pensar demasiado:
• Si el número es par (termina en 0, 2, 4, 6 u 8), se puede dividir entre 2
• Si el número termina en 5 o 0, entonces se puede dividir entre 5
• Si la suma de los dígitos es un múltiplo de 3 (3, 6, 9, 12, 15, 18, etc), entonces el número se puede dividir entre 3

Ahora si vamos a lo barrido intentando no dejar nada al azar. Empezamos, por ser más fácil, por los primos más pequeños para pelearnos con los más grandes ya que estemos encarrerados. Notamos que 138 600 termina en 0 y por eso es par, entonces se puede dividir entre 2, que es lo mismo que decir que tiene mitad.

Tip: Para sacar la mitad de un número, vele sacando la mitad a cada dígito y solo suma al final, si un dígito no tiene mitad exacta, acomoda la mitad “como si fueran puntos decimales” pero sin escribir el punto. Osease que como el primer dígito (uno 1) no tiene mitad exacta, la mitad sería 0.5, entonces pones el 0 debajo del 1 y el 5 debajo del siguiente dígito, esto sería así:

138 600  | 2
05| |||
 15 |||
  4 |||
    3||
     0|
      0
-------------
 69 300

Con algo de practica verás que es mucho más rápido así. Entonces siguiendo con el procedimiento, notamos que 69 300 termina en 0 así que es par y por ende le podemos sacar mitad.

69 300  |  2
3| |||
 4 5||
   15|
    0|
     0
------
34 650

Que también time mitad:

34 650  |  2
15
 2
   3
    25
     0
-------
17 325

Entonces vemos que este ya no es un número par, así que hay que pensar en otra cosa porque todavía es un número bastante grande. Antes de continuar, recapitulemos lo que llevamos.

138 600  |  2
 69 300  |  2
 34 650  |  2
 17 325  |
         |

Este es el orden que debe llevar, las otras operaciones como sacar las mitades deberían ser solo mentales (si, mentales). Entonces tenemos que buscar que número divide a 17 325. Notamos que la suma de sus dígitos es 1+7+3+2+5 = 18 que es múltiplo de 3 ( 6 x 3 =18 ) Si no te sabes la tabla del tres (deberías, vamos a usarla para hacer las divisiones) puedes seguir sumando los dígitos. 1 + 7 + 3 + 2 + 5 = 18 y 1 + 8 = 9 que es 3 x 3 así que con eso podemos decir que 17 325 es múltiplo de 3. La parte divertida, hacemos la división.

Entonces 17 325 / 3 = 5775, probamos otra vez, 5 + 7 + 7 + 5 = 24, 2 + 4 = 6 y 6 es múltiplo de 3, entonces podemos volver a dividir entre 3.

Entonces 5 775 / 3 = 1 925, probamos otra vez, 1 + 9 + 2 + 5 = 17, 1 + 7 = 8. Notamos que 8 NO es múltiplo de 3, así que 1 925 no se puede dividir entre 3. Antes de seguir, recapitulemos.

138 600  |  2
 69 300  |  2
 34 650  |  2
 17 325  |  3
  5 775  |  3
  1 925  |
         |

Entonces 1 925 no se puede dividir entre 3, pero notamos que como termina en 5, se puede dividir entre 5. Y vamos otra vez.

Entonces 1 925 / 5 = 385, que otra vez termina en 5, así que hacemos otra vez la división.

Entonces 385 / 5 = 77, 77 no termina en 5, 77 no termina en 0, así que no se puede dividir entre 5, aquí viene la parte entretenida, para saber si un número es divisible entre 7, 11, 13 o cualquier otro primo mayor, lo único que funciona es hacer las divisiones y esperar tener suerte, así que vamos a lo que nos truje.

Entonces 77 / 7 = 11 y como 11 ya es primo, terminamos. En un caso más general donde no te quede algo así de lindo, lo correcto es seguir haciendo divisiones hasta que te quede al final un número primo. Y recapitulando las cuentas, debería quedarte algo así:

138 600  |  2
 69 300  |  2
 34 650  |  2
 17 325  |  3
  5 775  |  3
  1 925  |  5
    385  |  5
     77  |  7
     11  |  11
      1  |

Donde a 1, como ya no podemos dividirlo (solo 1 divide a 1), ya terminamos.

El chiste de esto es notar que 138 600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 x 11 y que expresamos ese número en términos de factores primos y solo primos. Esto es muy útil para la simplificación de fracciones (que será el siguiente post) y para otro par de artilugios indispensables en matemáticas.

Espero te hayas entretenido con este post y que haya resuelto alguna de tus dudas. Suerte.

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Porque sobran elementos en las funciones inyectivas

Posted on 24/01/2008 by cleek

Ahora vamos a ver las vicisitudes de las funciones inyectivas, al principio intenté acomodar el post de una manera un poquito más ordenada pero parece imposible, por lo menos para mi cabeza. Así que ahí les van las cosas como se me van ocurriendo.

Función inyectiva: Una función f es inyectiva si y solo si para todos x,y en el dominio de f. Si x es distinto de y, entonces f(x) es distinto de f(y).

En cristiano: Una función f es inyectiva si a cualesquiera dos puntos distintos los lleva a puntos distintos. Osease que en ningún lugar se va a repetir un resultado.

Imaginalo así: tienes un grupo de 5 personas y 8 sillas. Quieres acomodarlas de manera que solo una persona quede en una silla (que quede asentado (jajaja) que nunca dije que tenía que haber una persona en cada silla, sino que si una persona se va a sentar en una silla, esta no debe estar ocupada). ¿Cómo las acomodas? Fácil:

Persona 1		--->		Silla 1
Persona 2		--->		Silla 2
Persona 3		--->		Silla 3
Persona 4		--->		Silla 4
Persona 5		--->		Silla 5
					Silla 6
					Silla 7
					Silla 8

Te sobraron sillas ¿y?. Solo tenias que acomodar a una persona en una silla, nunca se dijo que había que ocupar todas las sillas. Si hubiéramos querido que se ocuparan todas las sillas, entonces por lo menos a una persona le hubieran tocado más de una silla. Y en este último caso, la función no sería inyectiva. Porque por eso se llama inyectiva, porque inyecta un elemento del dominio (personas) en uno y solo uno del contradominio (sillas).

Creo que el ejemplo es bastante ilustrativo de porque sobran elementos del contradominio (sillas), pero por si las dudas. Sobran elementos porque no tenemos ninguna obligación de cubrir a todos los elementos del contradominio, por lo menos hablando de funciones inyectivas. La única obligación que tenemos es la de tomar a todos los elementos del dominio (personas) y mandar a ese elemento a uno del contradominio (sillas), imagina la descortesía de dejar a alguien sin sentar habiendo sillas vacías o de sentar a alguien en una silla que ya está ocupada.

Otra equivalencia para poder decir que una función es inyectiva es tomar un elemento (q) del contradominio y tomar dos elementos (a y b) del dominio de tal manera que f(a) = q y que f(b) = q. Entonces lo que hay que probar es que a = b.

En cristiano: Si tomas dos elementos que van a dar al mismo, para que sea inyectiva la función tendría que pasar que esos dos elementos fueran el mismo, porque si fueran distintos tendrían que ir a distintos elementos. Nota que esta es una cualidad que no tienen todas las funciones y por eso se les da una clasificación especial (les decimos inyectivas).

Ahora, ¿cómo vemos que una función no tiene porque ser inyectiva?. Solo imagina esta situación: Tienes 5 trozos de pizza y 3 personas hambrientas. Suponiendo que solo puedas dar trozos completos de pizza, por lo menos a uno le va a tocar más de un pedazo. Esa es una función que no es inyectiva porque hay por lo menos dos pedazos de pizza que van a ser comidos por la misma persona.

Además de todo esto, creo que vale la pena mencionar algunas cosas entretenidas para las que se usen estas funciones. Por ejemplo, acabamos de ver que si tenemos una función inyectiva entre dos conjuntos, lo más que puede pasar es que el dominio tenga cuando mucho el mismo número de elementos que el contradominio, de hecho el contradominio puede tener más elementos (si, ya vimos eso). Entonces podemos extender este concepto a conjuntos más grandes de cosas (como conjuntos infinitos) y comparar si alguno tiene más elementos que otro.

Otro ejemplo muy útil del álgebra lineal es para comprobar que una función lineal es inyectiva, se reduce a un sencillito calculo con el núcleo de la función. De hecho es solo comprobar que el único elemento que va a cero es cero.

Bueno, ya no se me ocurre otro. Espero te haya ayudado.

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Porque las raices de los primos son irracionales

Posted on 16/01/2008 by cleek

Para esto vamos a necesitar saber lo que es un número primo, un número racional y un máxmo común divisor.

Número primo. Es un número que no puede ser dividido de forma exacta entre ningún otro número anterior (excepto el 1, porsupuesto). Como ejemplo tenemos al 5, que no puede ser dividido de forma exacta por el 2, ni por el 3, ni por el 4.
Número racional. Es un número que podemos expresar como cociente (división) de dos enteros. Como ejemplos tenemos al 1/3, 2/5, 9 (= 9/1), 0 (= 0/3, 0/5, 0/9, etc).
Máximo común divisor de dos números. Este es el más complicado de todos. Suponte que tenemos dos números cualesquiera, digamos 72 y 90, entonces podemos descomponer a estos números en sus factores primos (números primos que multiplicados den el número que buscamos). Por ejemplo 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3, mientras que 90 = 2 · 3 · 3 · 5. Notamos que es la única manera de descomponer estos números (por el Teorema fundamental de la aritmética). Ahora sí, el Máximo común divisor de dos números es el resultado de multiplicar los primos que tienen en común en su descomposición (putamadre, se escucha horrible). En cristiano, ¿cuáles son los numeros que tienen en común las descomposiciones de 72 y 90 ?. 24 tiene 2, 2, 2, 3 y 90 tiene 2, 3, 3, 5 así que los que tienen en común son 2, 3 y 3 entonces el máximo común divisor es 2 · 3 · 3 = 18. Los que tengan en común multiplicados. Notamos que en un caso, es posible que los números no tengan ningún factor en común y entonces decimos que el MCD (Máximo común divisor) de esos dos números es 1.

Tendremos en cuenta que cualquier racional lo podemos expresar de distintas maneras, osease que 1/2 lo podemos ver como 2/4 y no solo ese, 1/2 = 2/4 = 3/6 = 5/10 = 11/22 = ……. Entonces ¿cuál va a ser la expresión que tomemos para ese racionál? No es tán fácil adivinar pero tiene que ver con el máximo común divisor entre los dos numeros que tomemos del racional (de hecho eso es lo que le quitamos a los números).

Ahora, tomamos un racional cualquiera p/q, este racional está formado de dos enteros p y q (duh) y si tomamos el MCD de p y q, tenemos que p = MCD x R y q = MCD x S. Osease que como MCD está en común con los dos, R tiene que ser los factores que sobraron de p y S son los factores que sobraron de q. entonces p/q = (MCD x R)/(MCD x S), entonces simplemente reescribimos esto como p/q = MCD/MCD x R/S. Otra vez:

 p     MCD x R     MCD     R
--- = --------- = ----- x ---
 q     MCD x S     MCD     S

Claramente al hacer las operaciones es obvio que es cierta la descomposición. Entonces notamos que MCD/MCD = 1. Entonces p/q = R/S. Cual es la diferencia, que R y S ya son dos números sin factores primos en común. Tambien es facil notar que para cualesquiera dos enteros podemos hacer la misma construcción y siempre poder obtener otros dos enteros sin factores en común. Por ejemplo, para 12/24 tomamos 1/2, para 27/3 tomamos 9/1, es decir, simplificamos la fracción. Entonces como le vamos a hacer para ver que las raices de los múmeros primos son irracionales. Antes nos acordamos de unas simples reglas para despejar: si está dividiendo, pasa multiplicando y para quitar una raíz elevamos los dos lados al cuadrado.

Vamos a necesitar usar otro hecho que no es obvio. Es raro de plantear pero no es dificil de entender. Si descomponemos un número r en sus factores primos y tenemos un primo p que no aparece en esa lista, entonces al descomponer r² (r al cuadrado), p sigue sin aparecer en esa lista. Osease, que si descompnemos 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 y vemos que 7 no aparece ahí, entonces en 180² = ( 2 · 2 · 3 · 3 · 5 )² = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5, en esta lista 7 sigue sin aparecer. Al reves también. Si un primo aparece al descomponer un cuadrado de un número, entonces ese primo tiene que aparecer al descomponer el número sin elevar al cuadrado, porque el cuadrado es repetir la lista dos veces, entonces si un primo aparece ahí, de hecho tiene que aparecer dos veces.

Lo vamos a hacer por reducción al absurdo, vamos a suponer algo y luego vamos a ver que es idiota suponer eso, así que eso no es cierto, entonces si no es cierto, es falso. Pero paso a pasito. Tenemos un número primo p, vamos a suponer que la raíz cuadrada de p no es un número irracional, osease que vamos a suponer que la raíz cuadrada de p es racional. Entonces como es racional, tiene que ser que (raíz de p) = q/r para algunos q y r enteros (porque esto es ser un racional) pero tomamos la expresión en la que q y r no tienen factores en común. Entonces nos quitamos la raíz de encima elevando al cuadrado para otener que p = q²/r² entonces despejamos a q² para obtener que p · r² = q², aqui notamos que como p es un primo, entonces p aparece en la descomposición de q² y de hecho también en la descomposición de q (sin el cuadrado). Perfecto, nada fuera de lo normal. Esperate, si aparece en la descoposición de q, tendríamos que q = p · S, donde S es el resto de la descomposición. Entonces tendríamos que p · r² = q² = (p · S)² = p² · S². Entonces, pasamos la p de p · r dividiendo y tenemos que r² = p · S² (donde esta p ya no está al cuadrado). Y otra vez, notamos que como p es un primo, p tiene que aparecer en la descomposición de r² y por ende también de r (sin el cuadrado). Entonces tenemos que el primo p aparece en la descomposición de q y en la descomposición de r. Si recuerdas habiamos tomado q y r de tal manera que no apareciera ningún primo en común pero acabamos de encontrar uno. Esto es absurdo (porque no puede estar y no estar al mismo tiempo), así que lo que supusimos es idiota y por ende falso.

Así que no es cierto que la raíz cuadrada de un primo sea racional, entonces no le queda de otra sino ser IRRACIONAL.. Se puso largo y confuso pero al final ya está el resultado.

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Porque no se puede dividir entre cero ( 0 )

Posted on 16/01/2008 by cleek

Esta es muy entretenida y daremos dos motivos, uno practico y otro técnico con patas, pelos y señales. Para entender porque no podemos dividir entre 0 vamos a usar los racionales y su interpretación en la vida, osease pasteles. Por supuesto que el sabor del pastel es de tu completa preferencia, no voy a pelearme con ~~los perdedores~~ las personas distintas que no aprecien un pastel de chocolate.

Entonces vamos a relacionar los pasteles con los racionales. Si nos comemos medio pastel, esto lo representamos como 1/2. Si comemos una tercera parte del pastel, esto lo representamos como 1/3. Si partimos el pastel en 7 partes (iguales) y nos comemos 4 de estas deliciosas, suculentas, maravillosos regalos que dios le da a los buenos de sus hijos, partes; entonces nos habremos comido 4/7 del pastel. Osease que la representación es: El número de partes en las que cortemos el pastel es el número que ponemos en el denominador y el número de partes que nos comemos en el numerador. Bueno, eso no es completamente cierto. Para el denominador (el número de abajo) no ponemos el número de partes que cortemos pues bien podriamos comernos todo el pastel entero y no hubieramos tenido que hacer ningún corte, así que quedemos de acuerdo en que en el denominador pondremos el número de trozos de pastel que queden, contando el caso en que nos comamos todo y esto lo denotaremos como 1/1 osease que de 1 pedazo de pastel nos hemos comido 1 pedazo de pastel.

Entonces si nos comemos 1/1 pedazos de pastel es porque hemos cortado un pastel en un pedazo (osease que no lo hemos cortado) y de ese un pedazo nos hemos comido un pedazo. Es bastante sencilla la idea, 5/19 es que hemos cortado un pastel en 19 pedazos iguales y hemos comido 5. Creo que ya captaste la idea.

Entonces 3/0 ¿que significa? Que cortamos un pastel en cero ( 0 ) pedazos iguales y nos comemos 3. Esperate esperate, no podemos cortar un pastel en cero pedazos iguales, tiene que ser por los menos un pedazo. Y es exactamente ahí donde está el truco, no podemos cortar un pastel en cero pedazos iguales y en general no podemos cortar nada en cero pedazos iguales, he ahí el porque no podemos dividir entre cero.

Y para una respuesta más técnica, recordemos (del punto anterior, sandwich exposed) la parte de los inversos multiplicativos. Antes de eso, espero que sepas uno de los hechos más fundamentales: Cualquier número multiplicado por cero da cero. Eso y que recuerdes también que el inverso multiplicativo de un número es literalmente dividir por ese número. Por ejemplo: el inverso multiplicativo de 5 es 1/5, osease a 1 lo dividimos en 5 (una quinta parte). Ahora, supongamos que cero tiene inverso multiplicativo, este sería 1/0, entonces por ser 1/0 sl inverso multiplicativo de 0, tendríamos que 0 por 1/0 = 1 y por el otro lado, 1/0 lo estamos multiplicando por 0 entonces tambien tendríamos que 1/0 por 0 = 0. En resumidas cuentas, tendríamos que 0 = 1/0 x 0 = 1, osease que 1 = 0. Lo que es un absurdo. Entonces como sabemos que 1 es distinto de 0, entonces lo que supusimos (que existe 1/0) es lo que no sucede, así que NO existe 1/0.

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Sandwich exposed. Entendiendo la ley de sandwich

Posted on 16/01/2008 by cleek

sandwich exposed

Este post es el primero para explicar una serie de cosas de las que nadie se toma la molestia en explicarnos a detalle, la mayoría son bastante técnicos pero no incomprensibles. Intentaré cubrir cosas como:

la ley del sandwich (sandwich exposed)
porque no se puede dividir entre cero (0)
porque las raices de los primos son irracionales
porque sobran elementos usando funciones inyectivas y suprayectivas
daremos una funcion de verdad biyectiva entre los naturales y los racionales

Todo en varios posts hasta que me canse o encuentre algo mas entretenido. Despues de todo, necesito más visitas.

Asi que empecemos con la fiesta:

Explicación de la ley del sandwich (sandwich exposed)

Antes que nada, espero no hacerlos bolas con la notación pero no tengo de otra con esta escritura en una sola linea.

Extremos por extremos y los de enmedio por los de enmedio. Así recita la ley del sandwich, pero lo que queremos es entender ¿porqué es cierta la siguiente igualdad?

 3

 5		 3·8		 24

----	=	------	=	-----

 7		 5·7		 35

 8

Donde esto es lo mismo que decir ( 3/5 ) / ( 7/8 ), osease una división de divisiones o un cociente de cocientes, como quieras llamarle. ¿Cómo te enseñaron a hacerlo? Tal vez te dijeron que lo hicieras así:

 3

 5			 3         7	 3	 8     3·8	 24

----	cambia a	--- entre --- =	--- x --- = ------ = ------

 7			 5         8	 5	 7     5·7	 35

 8

Supongo que todos estamos de acuerdo que las multiplicaciones de fracciones sí son los de arriba por los de arriba y los de abajo por los de abajo. Entonces veamos otro concepto muy extra super importantisimo en matemáticas: Multiplicar por uno (1) , mientras sea un uno adecuado.

Sabemos (¿sabemos?) que 5/5 = 1, y notamos que una igualdad va para los dos lados. Osease que 1 = 5/5 (¡¡¡sorpresa!!!) entonces si multiplicamos 3 x 1 es lo mismo que multiplicar 3 x (5/5). Esta es la idea básica que vamos a usar para obtener el resultado, multiplicar por uno.

Pero ¿cómo vamos a librarnos de las divisiones de divisiones con ese simple hecho? Muy fácil, mira: Si tenemos 7/8, para obtener un uno de ahí lo que hacemos es voltear la fracción y multiplicarla, osease:

 7     8    7 x 8     56

--- x --- = ----- = ---- = 1

 8     7    8 x 7     56

A esto se le llama inverso multiplicativo y es exactamente eso, el inverso (la operación inversa) de la multiplicación, es decir, la división. Un número es el inverso multiplicativo de otro si cuando los multiplicamos, el resultado es uno (1). Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 9 es 1/9 porque:

        1     9     1     9 x 1     9

 9   x --- = --- x --- = ------- = --- = 1

        9     1     9     1 x 9     9

Primero notamos que para poder hacer la operación tenemos que pasar el 9 a una notación de racionales, es decir, notar que 9 = 9/1, lo demás es claro por como sabemos que se multiplican estos. Todo esto para intentar simplificar la ley del changuis. Y ¿cómo vamos a simplificarla? primero notando que un número racional sigue siendo un número y tambien recordando que cualquier número por uno sigue siendo el mismo número. Entonces si tenemos:

Lo que vamos a hacer es multiplicar por el uno adecuado y este es (8/7) / (8/7) porque como 8/7 es un número y ese número entre si mismo no tiene porque dar algo distinto de uno (por las razones ya explicadas). Entonces vamos a las multiplicaciones.

 3     3     8     3 x 8     24

 5     5     7     5 x 7     35

--- = --- x --- = ------- = ----

 7     7     8     7 x 8     56

 8     8     7     8 x 7     56

Por como sabemos que se multiplican los quebrados. Entonces notamos que abajo tenemos 56/56 y ya habiamos quedado que eso es un uno, etonces queda así:

 3     3     8     3 x 8     24     24

 5     5     7     5 x 7     35     35

--- = --- x --- = ------- = ---- = ----

 7     7     8     7 x 8     56     1

 8     8     7     8 x 7     56

Pero también habiamos quedado que cualquier número entre uno sigue siendo el mismo número. Entonces y finalmente tenemos que:

 3     3     8     3 x 8     24     24

 5     5     7     5 x 7     35     35     24

--- = --- x --- = ------- = ---- = ---- = ----

 7     7     8     7 x 8     56     1      35

 8     8     7     8 x 7     56

Obteniento el resultado que esperabamos y por lo que es válida la ley del changuis.

Espero haya sido ilustrativo para todos, suerte.

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Tear me apart o como descomponer un número en sus factores primos

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