Llegaste al tiempo de pagar los pecados: los hijos en la escuela. De joven uno espera que todo sea diversión y que tener hijos sería tener pequeños sirvientes: mandarlos a limpiar el cochinero que hiciste en la sala la noche anterior que llegaste borracho, usarlos de prestanombres para no declarar tus propiedades a hacienda. Empiezan con eso de la escuela y si ya de por sí los gastos de los útiles escolares te traían en salsa, que te pidan ayuda con las tareas es como para mandarlos derechito a chingar a su madre (a menos que tú seas su madre, entonces que vayan amablemente con su papá).

Las sumas fueron sencillas, las restas no tanto; con esfuerzo pasaste las multiplicaciones pero las divisiones los están atormentando. A ti y al niño. ¡No más!

Como fundamental base para esta cruzada está la paciencia. Mucha.

Empezamos con el concepto. Dividir es averiguar cuantas veces cabe un número en otro. Dividir es la operación inversa a la multiplicación. En este entendido y en este escrito, separaremos la división entera (la que deja residuo entero o cero) de la división con decimales (que puede seguir hasta el infinito). Dejaremos para otro post la división con decimales y después veremos cómo hacer divisiones con números grandes.

Para llegar, siempre hay muchos caminos. Recuerda que la parte más importante para que el niño entienda es la orientación; una buena explicación es la base para que el niño generalice los procedimientos y pueda abordar situaciones similares y posteriores. Necesita una imágen clara del procedimiento, paso a paso y del resultado esperado.

En la división entera, dados dos números enteros (supondremos siempre que ambos son números distintos de cero por decencia y que ambos son positivos por comodidad), podemos encontrar otros dos números de modo que a uno de los que encontremos le podamos decir cociente y al otro le podamos decir residuo.

Como todo proceso de aprendizaje, empezaremos por los casos más básicos e iremos subiendo el grado de dificultad. Tan importante es la orientación como el control sobre la ejecución.

A estas alturas, el niño ya debe ser una muy bien aceitada máquina repetidora de las tablas de multiplicar; esto les ayudará muchísimo a entender la división como proceso inverso de la multiplicación y a resolverlas sin tanto problema.

Las divisiones son operaciones donde la lógica interviene un poco más (respecto a las multiplicaciones que se pueden recitar como padrenuestros) y es por eso que se empieza a dar entre los 8 y 9 años pues los inicios de la estructuración lógica (del desarrollo del niño) se empiezan entre los 7 y 8 años. Pueden ya hacer inferencias y armar planes a futuro.

Haz notar con varios ejemplos cómo es que funcionan las divisiones.
3 por 2 es igual a 6, entonces 6 entre 3 es igual a 2.
4 por 3 es igual a 12, entonces 12 entre 4 es igual a 3.
5 por 4 es igual a 20, entonces 20 entre 5 es igual a 4.
7 por 9 es igual a 63, entonces 63 entre 7 es igual a 9.

Que le sea claro al niño cómo es el procedimiento, entonces aumenta el grado de dificultad un poco. Explícale:
Para obtener 15 entre 3, recordamos de las tablas de multiplicar, 3 por qué es igual a 15. -Si no puede recordarlo, recítale la tabla del 3 hasta llegar al resultado- 3 por 5 es igual a 15. Entonces 15 entre 3 es igual a 5.

Debes dar una cantidad suficiente de ejemplos para poder asegurar que el niño lo ha comprendido. La práctica hace al maestro. Entre más ejercicios haga, mejor y más fácil le saldrá. Corrígelo cuando esté mal. Pasa una o dos semanas con el niño en el mismo tema.

Entonces explicas cómo es que la división es repartir. Manzanas, panes, lo que se te ocurra para que, con una situación tangible, pueda entender cómo es que funcionan las divisiones. De igual manera, deberías pasar una o dos semanas en el tema para que le quede bien claro.

Ahora veamos qué hacer en el caso más general, cuando el residuo de la división no es cero: si tenemos 7 y 2, queremos dividir 7 entre 2; queremos encontrar de alguna manera que el cociente es 3 y el residuo es 1. La duda es cómo haremos esto. Para completar la nomenclatura, al dividir 7 entre 2, al 7 le llamaremos dividendo y al 2 le llamaremos divisor.

Propongo algunos métodos para obtener el resultado deseado. Recuerda que queremos dividir 7 entre 2.
1) Por exahución
A 7 le restamos 2, obtenemos 5; comparamos y vemos que 2 no es más grande que 5, entonces repetimos.
A 5 le restamos 2, obtenemos 3; comparamos y vemos que 2 no es más grande que 3, entonces repetimos.
A 3 le restamos 2, obtenemos 1; comparamos y vemos que 2 SÍ es más grande que 1.
Contamos el número de veces que hicimos el procedimiento (es decir, cada vez que restamos) y a esta cantidad le llamamos cociente (lo hicimos 3 veces) y al último número obtenido (el 1) le llamamos residuo. Es decir que al dividir 7 entre 2, el cociente es 3 y el residuo es 1.

2) Con líneas y manzanas
Tengamos 7 manzanas y 2 niños hambrientos, queremos dividir las manzanas entre los niños.

Dibujamos una línea de una manzana a cada niño.

Repetimos mientras sea posible hacer líneas de las manzanas a los niños sin que hagan falta manzanas.

Contamos las manzanas que tiene un niño: 3. Notamos que queda una manzana sin línea.

3) Usando el hecho que es inverso de la multiplicación
De la tabla del 2, la recitamos hasta un número anterior al que sobrepase el número dado, 7.
2 por 1, 2. 2 no sobrepasa a 7, continuamos.
2 por 2, 4. 4 no sobrepasa a 7, continuamos.
2 por 3, 6. 6 no sobrepasa a 7, continuamos.
2 por 4, 8. 8 sí sobrepasa a 7, entonces el cociente es el número anterior (3).
Finalmente, hacemos la resta. De 6, cuánto falta para 7; es decir 7 – 6 = 1. Este es el residuo.

Y cualquier otro método que se te pueda ocurrir. De nuevo, te recuerdo que hay que hacer muchos ejercicios para que les salga bien. Muchos.

La interiorización de acciones externas es un acto complicado, resolver problemas mentalmente, la transformación de modelos e información de manera abstracta, todo para solucionar un problema; para esto necesita haber adquirido y asimilado el conocimiento; para asimilarlo, este le debe ser una necesidad y tu deber es ideártelas para que le sea necesario aprender.

¡¡¡ No más !!!

Pero vamos más despacio. En primera instancia, piensa en la edad de los peques a los que les vas a explicar. Dependiendo de la edad, pueden o no tener bien fundada la parte más racional de su cerebro. Probablemente solo requieran una explicación sencilla como:

Infinito no es un número, es un concepto. Igual que azul o brillante. Quiere decir que no tiene (ni puede tener) final. Es algo que nunca acaba.

Si son más curiosos (por amor de dios, no intenten meterle el conocimiento a la fuerza) entonces necesitarán algunos ejemplos para que la idea les quede bien clara. Primero aclaren que por cada número, siempre siempre siempre, hay un número más grande, basta sumarle uno a tal número y ya lo tienen. Del 1 sigue el 2, luego el 3, 4, 5, 6, 7, 8, …… 1 000 000, 1 000 001, 1 000 002, etc.

Entonces imaginen que tienen un dominó con todos los números que existen (TODOS) y que están ordenaditos (para ejemplificar, pueden ponerles algún video de youtube ). Entonces tiran la ficha del 1, esta tira el 2 que tira el 3, ….., que tira el 1 000 000, que tira el 1 000 001, etc. Luego, como siempre hay un número siguiente, siempre habrá una ficha siguiente, este continuo tirar de fichas no terminaría nunca. Es decir, es infinito.

De ahí ya habrán captado que los números son infinitos, pero nunca está de más notarlo. Igual que las fichas, como siempre hay un número siguiente, los números también son infinitos.

Estos son de los ejemplos grandes del infinito, pensemos en un ejemplo donde no tengamos que ir a cosas tan enormes.

Imaginemos un poco. Supongamos que tenemos un frizbee que hay que lanzar al otro lado de una habitación, pero que por más esfuerzo que se ponga, solo podemos lanzarlo la mitad del recorrido desde donde estamos hasta el punto a donde debe llegar. Osease que nada más lo podemos mandar la mitad del recorrido, no importa cuanto sea. Pero además, el destino ha jugado una de las suyas y cada vez que lo lanzamos, nos encogemos para que, al llegar despues de arrojar el frizbee, nos encogamos para que parezca que la distancia es la misma.

Entonces, cada vez que se arroje el frizbee solo recorrerá la mitad de lo que necesitemos que recorra, aparte que siempre nos parecerá que recorre la misma distancia, el proceso es de nunca acabar. Osease infinito.

Porque el infinito no es algo enorme, es algo que nunca acaba. Cualquier proceso que se pueda hacer si que pueda terminarse (y que se siga haciendo, dejar las cosas a la mitad no cuenta).

Ya que pueden convencer a los peques que entienden que es el infinito, es hora de ponerles en duda sus creencias. En matemáticas, todo se basa en pequeñas suposiciones muy sencillas que se toman como verdad. Estas suposiciones se llaman axiomas, hay axiomas para todo: suponer que existe un conjunto vacío (sin elementos), suponer que en un plano hay por lo menos tres puntos, que por dos puntos pasa una recta. Son cosas que parecen bastante obvias y por eso se les toma como verdad.

Pues entre estas cosas que no necesitan demostración (porque no se puede probar), está el suponer que existe un conjunto infinito. Sí, leiste bien. No podemos probar que existe un conjunto infinito, ni los números, ni las estrellas del universo, ni nada que se te pueda ocurrir. Pero el concepto es tán útil y tan ciertas sus aplicaciones que lo tomamos como verdad.

Puedes pensarlo como mejor te plazca, una necesidad, la presencia de dios, una curiosidad. Mientras decides, ya tienes algunos ejemplos para ponerle a los peques. Si no te entienden, no te preocupes. Ya lo harán, probablemente su mente no estaba preparada para entender ese concepto en ese momento.

Infinito más un saludos.

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Para los que no puedan esperar, explico como saber si un número de cualquier número de cifras se puede dividir entre tres. Es un proceso recursivo pero muy sencillo, todo se trata de sumar los dígitos del número.

Por ejemplo, queremos saber si 37422 se puede dividir entre tres, que daría bastante flojera en primera instancia hasta que sabes la técnica. Sumar todos los dígitos del número: 3 + 7 + 4 + 2 + 2 = 18, sabemos que 18 es múltiplo de 3 ( 6 x 3 ) pero en caso de que seamos muy flojos, podemos repetir el proceso con el número restante, 18: 1 + 8 = 9 y sabemos que 9 = 3 x 3 (ya más no se puede, no sean cabron@s).

Uno más grande: 1975336458. 1 + 9 + 7 + 5 + 3 + 3 + 6 + 4 + 5 + 8 = 51. 5 + 1 = 6. Así que 1975336458 Sí se puede dividir entre tres.

Espero disfruten la demostración, está sencillita, sólo no le pierdan el hilo a las igualdades. Diviertanse.

Empecemos con 2 multiplicantes:

• 600 = 600 x 1
• 600 = 120 x 5
• 600 = 24 x 25
• 600 = 8 x 75
• 600 = 4 x 150
• 600 = 2 x 300
• 600 = 6 x 100
• 600 = 12 x 50
• 600 = 15 x 40
• 600 = 30 x 20
• 600 = 60 x 10
• 600 = 150 x 4

Luego con 3:

• 600 = 24 x 5 x 5
• 600 = 8 x 15 x 5
• 600 = 4 x 30 x 5
• 600 = 2 x 60 x 5
• 600 = 12 x 10 x 5
• 600 = 6 x 20 x 5
• 600 = 3 x 40 x 5
• 600 = 4 x 15 x 10
• 600 = 2 x 30 x 10
• 600 = 3 x 20 x 10L
• 600 = 3 x 8 x 25
• 600 = 3 x 4 x 50
• 600 = 3 x 2 x 100
• 600 = 75 x 2 x 4
• 600 = 150 x 2 x 2

Con 4:

• 600 = 8 x 3 x 5 x 5
• 600 = 4 x 6 x 5 x 5
• 600 = 4 x 3 x 10 x 5
• 600 = 2 x 12 x 5 x 5
• 600 = 2 x 6 x 10 x 5
• 600 = 2 x 3 x 20 x 5
• 600 = 4 x 2 x 3 x 25
• 600 = 2 x 2 x 3 x 50
• 600 = 4 x 2 x 15 x 5
• 600 = 2 x 2 x 30 x 5
• 600 = 2 x 2 x 2 x 75

Con 5:

• 600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 25
• 600 = 2 x 2 x 10 x 3 x 5
• 600 = 2 x 2 x 2 x 15 x 5
• 600 = 2 x 2 x 6 x 5 x 5
• 600 = 2 x 4 x 3 x 5 x 5

Con 6:

• 600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5

Listo, disfrutenlo.

Si es de los posts más pinches que he hecho.

—CORTE AQUÍ—

Otra horrible experiencia explicada para beneplácito del púbico público, cuantas veces has peleado a muerte con las fracciones para que queden lo mas decentes posible, cuantas veces no has tenido mal una respuesta de examen solo por no haber reducido bien las fracciones. Ahora aquí tienes la respuesta, enclaustrada en texto preformateado con ortografía revisada para tu deleite.

Y ¿de que va esto? Pues vamos a entender como funcionan las fracciones para obtener la expresión más sencilla posible de ellas, no intento decir que esto es la última guía que necesitarás para simplificar fracciones, solo te doy algunos consejos a la hora de intentar evitar penas mayores- De hecho, releyendo el párrafo, no vamos a entender como funcionan las fracciones, de hecho en ningún momento me detengo a explicar el porqué funcionan las cosas. Solo nos remitiremos a la técnica necesaria. Vamos a necesitar:

• Saber que es un número primo
• Entender las descomposiciones de números en sus factores primos
• Saber hacer divisiones básicas ( como 70/2, 90/2, 150/3, 100/2, 1000/2, etc )
• Paciencia

El chiste de la simplificación de fracciones radica en hacer los números (el numerador y el denominador) lo más pequeños posible, sin afectar a la fracción en si. Esto se hace dividiendo ambos numerador y denominador entre un mismo número (Esbozos:sandwich_exposed), de manera que la división sea exacta (porque en los racionales solo podemos poner enteros en el numerador y denominador). Entonces, lo que vamos a hacer es desarrollar técnicas para hacer las divisiones lo más rápido posible. Primero tendrías que leer el texto Entender las descomposiciones de números en sus factores primos para que te dieras una idea de como vamos a hacerlo, aunque no es obligatorio. De hecho, este texto es casi una copia de lo que hicimos allá (sí, duplico el contenido para hacer énfasis en las cosas que creo realmente importantes, por lo menos hasta que las crean. Pueden hacer su chiste del axioma de elección), solo que aquí tenemos que hacerlo dos veces por cada división. No es taaan horrible como parece aunque si se necesita algo de paciencia. Primero vamos a decir que es lo que vamos a hacer ya en serio.

Tenemos una fracción, digamos p/q, entonces vamos a intentar, en orden y medida de lo posible:

• sacar la mitad de p y de q (dividirlos entre 2)
• sacar la tercera parte de p y q (dividirlos entre 3)
• sacar la quinta parte de p y q (dividirlos entre 5)
• sacar la séptima parte de p y q (dividirlos entre 7)
• intentar ver si se puede sacar la onceava y treceava parte fácil (entre 11 y 13 a la vez)
• rezar

Vamos a poner algo ya rudo de verdad para que veas que no hay que tenerle miedo a las fracciones. Me voy a evitar el hacer las divisiones (solo las sencillas) pues eso es algo que no me interesa ver aquí, solo nos interesa ver cuando se pueden dividir el numerador y el denominador para agilizar el proceso.

Así que vamos con los números, queremos reducir:

 332972640
-----------
  5045040

1. Mitades

Es fácil saber si un número tiene mitad, para esto, solo es necesario saber si el número en cuestión es un número par. Esto se hace viendo en que dígito termina. Para que un número sea par, tiene que terminar en 0, 2, 4, 6 u 8.

Lo entretenido es sacar la mitad, para números grandes (como los que queremos reducir), lo más sencillo es sacar la mitad de cada dígito ordenando todo por la posición del dígito. Se escucha más horrible de lo que es. Ejemplo, ejemplo.

Notamos que 332972640 es un número par (termina en 0) y que 5045040 también es par (también termina en 0). Así que ambos números tienen mitad. Obtengamos esas mitades.

332972640
15|||||||
 15||||||
| 1||||||
|| 45||||
||| 35|||
|||| 1|||
||||| 3||
|||||| 2|
||||||| 0
---------
166486320

Explicación: Tomamos los dígitos como tales, uno por uno y sacamos la mitad.

• La mitad de 3 es 1.5, pero no nos interesan los puntos así que dejamos el 15 empezando a escribirlo justo abajo del 3.
• Otra vez, la mitad de 3 es 1.5, así que escribimos 15 abajo de ese 3, en su propia fila.
• La mitad de 2 es 1 y lo ponemos abajo del 2 en su propia fila.
• La mitad de 9 es 4.5, entonces escribimos 45 abajo del 9 EN SU PROPIA FILA.
• La mitad de 7 es 3.5 y escribimos 35 abajo del 7, adivinaste, en su propia fila.
• Otra vez, la mitad de 2 es 1 y lo escribimos abajo del 2, ¿tengo que mencionar que lo escribimos en su propia fila?
• La mitad de 6 es 3 y ese 3 lo escribimos abajo del 6.
• La mitad de 4 es 2 y ese número lo ponemos abajo del 4.
• Y finalmente, la mitad de 0 es 0 y lo ponemos abajo del 0.

Para terminar, hacemos la suma de los números que obtuvimos para obtener que la mitad de 332972640 es 166486320. Si te fijas bien, no hubo que hacer divisiones más complicadas que 9/2 y obtuvimos un resultado correcto. -¿correcto? ¿cómo sabes que es correcto?. -De hecho es una onda de escribir al número de acuerdo a la posición de sus dígitos y haces ahí la división porque es más sencilla. Pero no entremos en esos horribles detalles.

Ahora, falta sacar la mitad de 5045040. Vamos.

5045040
25|||||
 0|||||
| 2||||
|| 25||
||| 0||
|||| 2|
||||| 0
-------
2522520

Entonces tenemos que, sacando mitades:

 332972640     166486320
----------- = -----------
  2045040       2522520

Donde como el numerador y denominador terminan en 0, aseguramos que son pares y entonces se pueden dividir entre 2, así que hay que sacarle la mitad, otra vez.

166486320
05|||||||
 3|||||||
| 3||||||
|| 2|||||
||| 4||||
|||| 3|||
||||| 15|
|||||| 1|
||||||| 0
---------
 83243160

Si te fijas, el primer dígito es 1, así que su mitad es 0.5, entonces le escribimos 05 (con todo y el 0) justo abajo del 1. Y para el denominador tenemos.

1022520
05|||||
 0|||||
| 1||||
|| 1|||
||| 25|
|||| 1|
||||| 0
-------
 511260

Entonces tenemos que:

 332972640     166486320     83243160
----------- = ---------- = ---------
 2045040       1022520       511260

Y como ambos terminan en 0, son pares y les sacamos OTRA VEZ la mitad. Ahora me ahorraré la división.

 332972640    166486320     83243160     41621580     20810790
----------- = ---------- = ---------- = ---------- = ----------
2045040       1022520      511260      255630       127815

Ahora, hay que sacar mitades hasta que alguno de los dos (numerador o denominador) no se pueda dividir entre 2. Entonces en el último resultado notamos que 20810740 es par, así que se puede dividir entre 2, pero 127815 ya no es par (termina en 5) así que este ya no lo podemos dividir entre 2. Entonces esto termina la persecución de las mitades.

2. Tercias

Para saber si un número se puede dividir entre 3, lo que hacemos es sumar sus dígitos, si la suma de los dígitos es un múltiplo de 3, entonces el número original se puede dividir entre 3.

Este se ve raro pero también es muy fácil. recordamos el último resultado que tenemos que reducir, que es:

 20810790
---------
 127815

Entonces para saber si el numerador se puede dividir entre 3, tomamos la suma de sus dígitos hasta que obtengamos algo que sea fácil saber que es múltiplo de 3.

20810790
2 + 0 + 8 + 1 + 0 + 7 + 9 + 0 = 27
2 + 7 = 9

Y 9 es claramente 3 x 3, así que 20810790 es divisible entre 3. Antes de hacer la división, falta ver que el denominador también se pueda dividir entre 3, para no hacer trabajo extra.

127815
1 + 2 + 7 + 8 + 1 + 5 = 24
2 + 4 = 6

Y 6 es 3 x 2, entonces 127815 se puede dividir entre 3. Y entonces ahora si hacemos las divisiones. 20810790/3 = 6936930 y 127815/3 = 42605. Y vamos otra vez a ver si se puede seguir reduciendo.

6936930
6 + 9 + 3 + 6 + 9 + 3 + 0 = 36
3 + 6 = 9

y el otro sería

42605
4 + 2 + 6 + 0 + 5 = 17
1 + 7 = 8

Entonces te fijas que 8 ya no es múltiplo de 3, entonces ni te molestas en hacer las divisiones porque sabes que será trabajo inútil.

3. Quinta

Vamos a la siguiente reducción. Para saber si un número es divisible entre 5, es muy fácil, solo ves el último dígito y si es un 0 o un 5, entonces el número es divisible por 5. Recordamos el último resultado.

 6936930
---------
  42605

Que fue el resultado de la última división que terminamos. Ahora, el numerador termina en 0 y el denominador en 5 (que casualidad). Así que pasamos a hacer las respectivas divisiones. 6936930/5 = 1387386 y el otro es 42605/5 = 8521

Y notas que el resultado de dividir el numerador (el de arriba) entre 5 da 1387386 y ese ya no termina en 5 así que ya no sigues. Recapitulando.

 6936930     1387386
--------- = ---------
42605        8521

En el caso que siguieran terminando en 0 o 5 ambos, sigues haciendo divisiones entre 5 hasta que ya no terminen en 5 o 0.

4. Séptima

Hasta ahora, todas habían sido bastante sencillas, de aquí en adelante todo se pone ya un poquito (poquito) más laborioso. Para saber si un número es divisible entre 7, tomas el último dígito, lo multiplicas por 2 y lo restas de los dígitos restantes, si el número que resulta es múltiplo de 7, entonces el número original es múltiplo de 7. Ya sé que se ve horrendo pero es más sencillo de lo que parece. Vamos.

Tenemos 1387386, para saber si es divisible entre 7.

• Tomamos el último dígito. 6.
• Lo multiplicamos por 2, 12.
• Tomamos los dígitos restantes 138738
• Y los restamos. 138738 – 12 = 138726

Ahora solo falta saber si 138726 es múltiplo de 7, y para saber eso, ya tenemos un procedimiento. Así que vamos otra vez.

• Tomamos el último dígito, 6.
• Lo multiplicamos por 2, 12.
• Tomamos los dígitos restantes 13872
• Y los restamos. 13872 – 12 = 13860

Y como ese número todavía es muy grande, lo hacemos de nuevo.

• Tomamos el último dígito, 0.
• Lo multiplicamos por 2, 0.
• Tomamos los dígitos restantes 1386
• Y los restamos. 1386 – 0 = 1386

Y otra vez.

• Tomamos el último dígito, 6.
• Lo multiplicamos por 2, 12.
• Tomamos los dígitos restantes 138
• Y los restamos. 138 – 12 = 126

Y otra, hasta que obtengamos un resultado sencillo.

• Tomamos el último dígito, 6.
• Lo multiplicamos por 2, 12.
• Tomamos los dígitos restantes 12
• Y los restamos. 12 – 12 = 0

Entonces notamos que 0 es 7 x 0, (si, 7×0 también cuenta), luego entonces 1387386 es divisible por 7. Y da como resultado 1387386 / 7 = 198198. Vamos con el denominador.

8521

• Tomamos el último dígito, 1.
• Lo multiplicamos por 2, 2.
• Tomamos los dígitos restantes 852
• Y los restamos. 852 – 2 = 850

Aquí podríamos hacerlo de dos maneras, la primera sería hacer el procedimiento completo (como arriba) y la otra sería que, como 850 termina en 0, podemos quitar ese 0 y seguir con el procedimiento (pero con menos dígitos). Vamos a hacerlo de la segunda manera.

85

• Tomamos el último dígito, 5.
• Lo multiplicamos por 2, 10.
• Tomamos los dígitos restantes 8
• Y los restamos. 10 – 8 = 2

Y claramente 2 no es múltiplo de 7. Entonces 8521 no es divisible entre 7. Así que no podemos reducir la fracción (pero quería que vieras el argumento).

5. Onceava y Treceava

Bueno, estas van juntas, porque es lo más lejos que llegaremos con este post. Aquí no hay un método explicito para saber si un número se puede o no dividir. Solo te daré unos consejos. Antes, recordemos en que nos quedamos:

 1387386
---------
  8521

Bueno, ya no te aburriré con más intentos porque ya es lo más que pude reducir esa fracción. Ya terminamos. Solo que para no dejarte a media explicación mencionaré lo que falta.

Creo que solo los listaré.

Onceava

Mira fijamente el número, si tiene algún patrón de repeticiones aunque no sean iguales, es PROBABLE que el número se pueda dividir entre 11.

Por ejemplo 1387386 tiene un 387 y un 386 que son números consecutivos, así que yo intentaría dividir entre 11. De hecho, el resultado de dividir 1387386 / 11 = 126126
Y si te fijas, 126126 es 126 y 126, lo que da un patrón ‘lindo’ e intentaría dividir otra vez entre 11. 126126 / 11 = 11466.
Yo vería el 11 y el 66 e intentaría dividir otra vez, pero ahora estaría equivocado porque estos ya no se dividen.

Treceava

Esta es la menos útil porque solo parece funcionar en muy pocos casos, Lo mejor es probar. Fíjate en el primer y último dígitos del número y si el primero es múltiplo de 1 y el último es APROXIMADAMENTE el mismo múltiplo de 3, entonces intenta.

Por ejemplo, 11466 miras el 1 del principio y el 6 del final. el 6 es 3 x 2, y el 1 es obviamente 1 x 1, entonces yo intentaría dividir. 11466 / 13 = 882 y ahí me detengo porque 8 está muy lejos de 2. Sin mencionar que 882 es par.

Con esto acabamos este laargo post, espero no haberlos aburrido mucho. Por favor, Escriban algún comentario o correo si ven alguna operación equivocada. Alguna otra vez (supongo) mostraré el como se hace el proceso ya con algo de práctica. Saludos.

Recordamos como siempre la definición de número primo, que es un número que no puede ser dividido exactamente por ninguno de los números anteriores a él (excluyendo a 1). Antes que se me vaya el santo al cielo, recordamos algunos de los números primos ya por todos conocidos. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …. Con estos espero que nos baste por ahora. Y ahora si a la explicación (si no te interesa la explicación, puedes saltarte el párrafo).

Supongamos que tenemos un número entero positivo cualquiera, digamosle X. Entonces hay dos posibilidades, que X sea 1 o que X no sea 1 (uno) (jajaja) Si X es 1, entonces no hacemos nada porque 1 es el único entero positivo que no puede descomponerse en factores primos. Si X NO es 1, entonces por ser positivo, tiene que ser mayor que 1, entonces hay (otra vez) dos posibilidades, que X sea primo o que X no sea primo. Si X es primo, ya acabamos pues entonces X lo descomponemos como sus factores primos, es decir, los primos que multiplicados den X, osease que X se descompone en X. Si, esto es bastante bobo pero es claro, mira, como X YA es primo, no hay porque descomponerlo, así que simplemente saltamos y bailamos alrededor de cualquier mesa cercana por la alegría de haber terminado. Lo divertido es Si X no es primo, entonces, recordando la definición de número primo (en el segundo párrafo), significa que X SI se puede dividir por algún número anterior a él, digamosle P, y como ese número por ser anterior, no tiene mas opción que ser menor a X. Así que en este caso X es igual a P multiplicado por algún otro número, llamemosle Q a este otro número, entonces también podemos afirmar que Q tiene que ser mas pequeño que X (pues todos los números son positivos), entonces hacemos gala de un argumento recursivo diciendo que podemos aplicar el mismo argumento para P y para Q. Como P y Q son números finitos, hay un número finito de pasos para obtener una descomposición de estos en sus factores primos, ¿porque se tienen que descomponer en factores primos? pues porque si uno de los factores, digamos de P, no fuera primo, aplicamos otra vez el procedimiento y lo dividimos en partes mas pequeñas, y así hasta obtener solo factores primos.

Ya sé que se ve bastante enredado, si no lo entendiste bien leelo otra vez con calma y si no te interesa entenderlo bien puedes seguir y ver la técnica, se pone algo larga la explicación de la técnica por que están todas las divisiones a manita y trae truquitos explicados paso por paso.

Ahora, ¿como se factoriza un número cualquiera?. Digamos 138 600 (uno grande para que se vea bien como va la onda). La técnica más cómoda (a mi parecer) es haciendo una división, de un lado el número y del otro los factores que vayamos sacando. Algo así:

	138 600 |
	        |
	        |
	        |
	        |
	        |
	        |

Antes de seguir vamos a dar unas reglitas que te evitarán pensar demasiado:
• Si el número es par (termina en 0, 2, 4, 6 u 8), se puede dividir entre 2
• Si el número termina en 5 o 0, entonces se puede dividir entre 5
• Si la suma de los dígitos es un múltiplo de 3 (3, 6, 9, 12, 15, 18, etc), entonces el número se puede dividir entre 3

Ahora si vamos a lo barrido intentando no dejar nada al azar. Empezamos, por ser más fácil, por los primos más pequeños para pelearnos con los más grandes ya que estemos encarrerados. Notamos que 138 600 termina en 0 y por eso es par, entonces se puede dividir entre 2, que es lo mismo que decir que tiene mitad.

Tip: Para sacar la mitad de un número, vele sacando la mitad a cada dígito y solo suma al final, si un dígito no tiene mitad exacta, acomoda la mitad “como si fueran puntos decimales” pero sin escribir el punto. Osease que como el primer dígito (uno 1) no tiene mitad exacta, la mitad sería 0.5, entonces pones el 0 debajo del 1 y el 5 debajo del siguiente dígito, esto sería así:

138 600  | 2
05| |||
 15 |||
  4 |||
    3||
     0|
      0
-------------
 69 300

Con algo de practica verás que es mucho más rápido así. Entonces siguiendo con el procedimiento, notamos que 69 300 termina en 0 así que es par y por ende le podemos sacar mitad.

69 300  |  2
3| |||
 4 5||
   15|
    0|
     0
------
34 650

Que también time mitad:

34 650  |  2
15
 2
   3
    25
     0
-------
17 325

Entonces vemos que este ya no es un número par, así que hay que pensar en otra cosa porque todavía es un número bastante grande. Antes de continuar, recapitulemos lo que llevamos.

138 600  |  2
 69 300  |  2
 34 650  |  2
 17 325  |
         |

Este es el orden que debe llevar, las otras operaciones como sacar las mitades deberían ser solo mentales (si, mentales). Entonces tenemos que buscar que número divide a 17 325. Notamos que la suma de sus dígitos es 1+7+3+2+5 = 18 que es múltiplo de 3 ( 6 x 3 =18 ) Si no te sabes la tabla del tres (deberías, vamos a usarla para hacer las divisiones) puedes seguir sumando los dígitos. 1 + 7 + 3 + 2 + 5 = 18 y 1 + 8 = 9 que es 3 x 3 así que con eso podemos decir que 17 325 es múltiplo de 3. La parte divertida, hacemos la división.

	      5 775
	   ---------
	 3 | 17 325
	    -15
	    ---
	      2 3
	     -2 1
	     -----
	        22
	       -21
	       ----
	         15
	        -15
	        ----
	          0

Entonces 17 325 / 3 = 5775, probamos otra vez, 5 + 7 + 7 + 5 = 24, 2 + 4 = 6 y 6 es múltiplo de 3, entonces podemos volver a dividir entre 3.

	    1 925
	  --------
	3 | 5 775
	   -3
	   ---
	    2 7
	   -2 7
	   -----
	      07
	      -6
	      ---
	       15
	      -15
	       ----
	         0

Entonces 5 775 / 3 = 1 925, probamos otra vez, 1 + 9 + 2 + 5 = 17, 1 + 7 = 8. Notamos que 8 NO es múltiplo de 3, así que 1 925 no se puede dividir entre 3. Antes de seguir, recapitulemos.

138 600  |  2
 69 300  |  2
 34 650  |  2
 17 325  |  3
  5 775  |  3
  1 925  |
         |

Entonces 1 925 no se puede dividir entre 3, pero notamos que como termina en 5, se puede dividir entre 5. Y vamos otra vez.

	      385
	  --------
	5 | 1 925
	   -1 5
	   -----
	      42
	     -40
	     ----
	       25
	      -25
	      ----
	         0

Entonces 1 925 / 5 = 385, que otra vez termina en 5, así que hacemos otra vez la división.

	    77
	  ------
	5 | 385
	   -35
	   ----
	     35
	    -35
	     ---
	        0

Entonces 385 / 5 = 77, 77 no termina en 5, 77 no termina en 0, así que no se puede dividir entre 5, aquí viene la parte entretenida, para saber si un número es divisible entre 7, 11, 13 o cualquier otro primo mayor, lo único que funciona es hacer las divisiones y esperar tener suerte, así que vamos a lo que nos truje.

	    11
	  -----
	7 | 77
	   -7
	   ---
	    07
	    -7
	    ---
	      0

Entonces 77 / 7 = 11 y como 11 ya es primo, terminamos. En un caso más general donde no te quede algo así de lindo, lo correcto es seguir haciendo divisiones hasta que te quede al final un número primo. Y recapitulando las cuentas, debería quedarte algo así:

138 600  |  2
 69 300  |  2
 34 650  |  2
 17 325  |  3
  5 775  |  3
  1 925  |  5
    385  |  5
     77  |  7
     11  |  11
      1  |

Donde a 1, como ya no podemos dividirlo (solo 1 divide a 1), ya terminamos.

El chiste de esto es notar que 138 600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 x 11 y que expresamos ese número en términos de factores primos y solo primos. Esto es muy útil para la simplificación de fracciones (que será el siguiente post) y para otro par de artilugios indispensables en matemáticas.

Espero te hayas entretenido con este post y que haya resuelto alguna de tus dudas. Suerte.

Función inyectiva: Una función f es inyectiva si y solo si para todos x,y en el dominio de f. Si x es distinto de y, entonces f(x) es distinto de f(y).

En cristiano: Una función f es inyectiva si a cualesquiera dos puntos distintos los lleva a puntos distintos. Osease que en ningún lugar se va a repetir un resultado.

Imaginalo así: tienes un grupo de 5 personas y 8 sillas. Quieres acomodarlas de manera que solo una persona quede en una silla (que quede asentado (jajaja) que nunca dije que tenía que haber una persona en cada silla, sino que si una persona se va a sentar en una silla, esta no debe estar ocupada). ¿Cómo las acomodas? Fácil:

Persona 1		--->		Silla 1
Persona 2		--->		Silla 2
Persona 3		--->		Silla 3
Persona 4		--->		Silla 4
Persona 5		--->		Silla 5
					Silla 6
					Silla 7
					Silla 8

Te sobraron sillas ¿y?. Solo tenias que acomodar a una persona en una silla, nunca se dijo que había que ocupar todas las sillas. Si hubiéramos querido que se ocuparan todas las sillas, entonces por lo menos a una persona le hubieran tocado más de una silla. Y en este último caso, la función no sería inyectiva. Porque por eso se llama inyectiva, porque inyecta un elemento del dominio (personas) en uno y solo uno del contradominio (sillas).

Creo que el ejemplo es bastante ilustrativo de porque sobran elementos del contradominio (sillas), pero por si las dudas. Sobran elementos porque no tenemos ninguna obligación de cubrir a todos los elementos del contradominio, por lo menos hablando de funciones inyectivas. La única obligación que tenemos es la de tomar a todos los elementos del dominio (personas) y mandar a ese elemento a uno del contradominio (sillas), imagina la descortesía de dejar a alguien sin sentar habiendo sillas vacías o de sentar a alguien en una silla que ya está ocupada.

Otra equivalencia para poder decir que una función es inyectiva es tomar un elemento (q) del contradominio y tomar dos elementos (a y b) del dominio de tal manera que f(a) = q y que f(b) = q. Entonces lo que hay que probar es que a = b.

En cristiano: Si tomas dos elementos que van a dar al mismo, para que sea inyectiva la función tendría que pasar que esos dos elementos fueran el mismo, porque si fueran distintos tendrían que ir a distintos elementos. Nota que esta es una cualidad que no tienen todas las funciones y por eso se les da una clasificación especial (les decimos inyectivas).

Ahora, ¿cómo vemos que una función no tiene porque ser inyectiva?. Solo imagina esta situación: Tienes 5 trozos de pizza y 3 personas hambrientas. Suponiendo que solo puedas dar trozos completos de pizza, por lo menos a uno le va a tocar más de un pedazo. Esa es una función que no es inyectiva porque hay por lo menos dos pedazos de pizza que van a ser comidos por la misma persona.

Además de todo esto, creo que vale la pena mencionar algunas cosas entretenidas para las que se usen estas funciones. Por ejemplo, acabamos de ver que si tenemos una función inyectiva entre dos conjuntos, lo más que puede pasar es que el dominio tenga cuando mucho el mismo número de elementos que el contradominio, de hecho el contradominio puede tener más elementos (si, ya vimos eso). Entonces podemos extender este concepto a conjuntos más grandes de cosas (como conjuntos infinitos) y comparar si alguno tiene más elementos que otro.

Otro ejemplo muy útil del álgebra lineal es para comprobar que una función lineal es inyectiva, se reduce a un sencillito calculo con el núcleo de la función. De hecho es solo comprobar que el único elemento que va a cero es cero.

Bueno, ya no se me ocurre otro. Espero te haya ayudado.

• Número primo. Es un número que no puede ser dividido de forma exacta entre ningún otro número anterior (excepto el 1, porsupuesto). Como ejemplo tenemos al 5, que no puede ser dividido de forma exacta por el 2, ni por el 3, ni por el 4.
• Número racional. Es un número que podemos expresar como cociente (división) de dos enteros. Como ejemplos tenemos al 1/3, 2/5, 9 (= 9/1), 0 (= 0/3, 0/5, 0/9, etc).
• Máximo común divisor de dos números. Este es el más complicado de todos. Suponte que tenemos dos números cualesquiera, digamos 72 y 90, entonces podemos descomponer a estos números en sus factores primos (números primos que multiplicados den el número que buscamos). Por ejemplo 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3, mientras que 90 = 2 · 3 · 3 · 5. Notamos que es la única manera de descomponer estos números (por el Teorema fundamental de la aritmética). Ahora sí, el Máximo común divisor de dos números es el resultado de multiplicar los primos que tienen en común en su descomposición (putamadre, se escucha horrible). En cristiano, ¿cuáles son los numeros que tienen en común las descomposiciones de 72 y 90 ?. 24 tiene 2, 2, 2, 3 y 90 tiene 2, 3, 3, 5 así que los que tienen en común son 2, 3 y 3 entonces el máximo común divisor es 2 · 3 · 3 = 18. Los que tengan en común multiplicados. Notamos que en un caso, es posible que los números no tengan ningún factor en común y entonces decimos que el MCD (Máximo común divisor) de esos dos números es 1.

Tendremos en cuenta que cualquier racional lo podemos expresar de distintas maneras, osease que 1/2 lo podemos ver como 2/4 y no solo ese, 1/2 = 2/4 = 3/6 = 5/10 = 11/22 = ……. Entonces ¿cuál va a ser la expresión que tomemos para ese racionál? No es tán fácil adivinar pero tiene que ver con el máximo común divisor entre los dos numeros que tomemos del racional (de hecho eso es lo que le quitamos a los números).

Ahora, tomamos un racional cualquiera p/q, este racional está formado de dos enteros p y q (duh) y si tomamos el MCD de p y q, tenemos que p = MCD x R y q = MCD x S. Osease que como MCD está en común con los dos, R tiene que ser los factores que sobraron de p y S son los factores que sobraron de q. entonces p/q = (MCD x R)/(MCD x S), entonces simplemente reescribimos esto como p/q = MCD/MCD x R/S. Otra vez:

 p     MCD x R     MCD     R
--- = --------- = ----- x ---
 q     MCD x S     MCD     S

Claramente al hacer las operaciones es obvio que es cierta la descomposición. Entonces notamos que MCD/MCD = 1. Entonces p/q = R/S. Cual es la diferencia, que R y S ya son dos números sin factores primos en común. Tambien es facil notar que para cualesquiera dos enteros podemos hacer la misma construcción y siempre poder obtener otros dos enteros sin factores en común. Por ejemplo, para 12/24 tomamos 1/2, para 27/3 tomamos 9/1, es decir, simplificamos la fracción. Entonces como le vamos a hacer para ver que las raices de los múmeros primos son irracionales. Antes nos acordamos de unas simples reglas para despejar: si está dividiendo, pasa multiplicando y para quitar una raíz elevamos los dos lados al cuadrado.

Vamos a necesitar usar otro hecho que no es obvio. Es raro de plantear pero no es dificil de entender. Si descomponemos un número r en sus factores primos y tenemos un primo p que no aparece en esa lista, entonces al descomponer r² (r al cuadrado), p sigue sin aparecer en esa lista. Osease, que si descompnemos 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 y vemos que 7 no aparece ahí, entonces en 180² = ( 2 · 2 · 3 · 3 · 5 )² = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5, en esta lista 7 sigue sin aparecer. Al reves también. Si un primo aparece al descomponer un cuadrado de un número, entonces ese primo tiene que aparecer al descomponer el número sin elevar al cuadrado, porque el cuadrado es repetir la lista dos veces, entonces si un primo aparece ahí, de hecho tiene que aparecer dos veces.

Lo vamos a hacer por reducción al absurdo, vamos a suponer algo y luego vamos a ver que es idiota suponer eso, así que eso no es cierto, entonces si no es cierto, es falso. Pero paso a pasito. Tenemos un número primo p, vamos a suponer que la raíz cuadrada de p no es un número irracional, osease que vamos a suponer que la raíz cuadrada de p es racional. Entonces como es racional, tiene que ser que (raíz de p) = q/r para algunos q y r enteros (porque esto es ser un racional) pero tomamos la expresión en la que q y r no tienen factores en común. Entonces nos quitamos la raíz de encima elevando al cuadrado para otener que p = q²/r² entonces despejamos a q² para obtener que p · r² = q², aqui notamos que como p es un primo, entonces p aparece en la descomposición de q² y de hecho también en la descomposición de q (sin el cuadrado). Perfecto, nada fuera de lo normal. Esperate, si aparece en la descoposición de q, tendríamos que q = p · S, donde S es el resto de la descomposición. Entonces tendríamos que p · r² = q² = (p · S)² = p² · S². Entonces, pasamos la p de p · r dividiendo y tenemos que r² = p · S² (donde esta p ya no está al cuadrado). Y otra vez, notamos que como p es un primo, p tiene que aparecer en la descomposición de r² y por ende también de r (sin el cuadrado). Entonces tenemos que el primo p aparece en la descomposición de q y en la descomposición de r. Si recuerdas habiamos tomado q y r de tal manera que no apareciera ningún primo en común pero acabamos de encontrar uno. Esto es absurdo (porque no puede estar y no estar al mismo tiempo), así que lo que supusimos es idiota y por ende falso.

Así que no es cierto que la raíz cuadrada de un primo sea racional, entonces no le queda de otra sino ser IRRACIONAL.. Se puso largo y confuso pero al final ya está el resultado.

Entonces vamos a relacionar los pasteles con los racionales. Si nos comemos medio pastel, esto lo representamos como 1/2. Si comemos una tercera parte del pastel, esto lo representamos como 1/3. Si partimos el pastel en 7 partes (iguales) y nos comemos 4 de estas deliciosas, suculentas, maravillosos regalos que dios le da a los buenos de sus hijos, partes; entonces nos habremos comido 4/7 del pastel. Osease que la representación es: El número de partes en las que cortemos el pastel es el número que ponemos en el denominador y el número de partes que nos comemos en el numerador. Bueno, eso no es completamente cierto. Para el denominador (el número de abajo) no ponemos el número de partes que cortemos pues bien podriamos comernos todo el pastel entero y no hubieramos tenido que hacer ningún corte, así que quedemos de acuerdo en que en el denominador pondremos el número de trozos de pastel que queden, contando el caso en que nos comamos todo y esto lo denotaremos como 1/1 osease que de 1 pedazo de pastel nos hemos comido 1 pedazo de pastel.

Entonces si nos comemos 1/1 pedazos de pastel es porque hemos cortado un pastel en un pedazo (osease que no lo hemos cortado) y de ese un pedazo nos hemos comido un pedazo. Es bastante sencilla la idea, 5/19 es que hemos cortado un pastel en 19 pedazos iguales y hemos comido 5. Creo que ya captaste la idea.

Entonces 3/0 ¿que significa? Que cortamos un pastel en cero ( 0 ) pedazos iguales y nos comemos 3. Esperate esperate, no podemos cortar un pastel en cero pedazos iguales, tiene que ser por los menos un pedazo. Y es exactamente ahí donde está el truco, no podemos cortar un pastel en cero pedazos iguales y en general no podemos cortar nada en cero pedazos iguales, he ahí el porque no podemos dividir entre cero.

Y para una respuesta más técnica, recordemos (del punto anterior, sandwich exposed) la parte de los inversos multiplicativos. Antes de eso, espero que sepas uno de los hechos más fundamentales: Cualquier número multiplicado por cero da cero. Eso y que recuerdes también que el inverso multiplicativo de un número es literalmente dividir por ese número. Por ejemplo: el inverso multiplicativo de 5 es 1/5, osease a 1 lo dividimos en 5 (una quinta parte). Ahora, supongamos que cero tiene inverso multiplicativo, este sería 1/0, entonces por ser 1/0 sl inverso multiplicativo de 0, tendríamos que 0 por 1/0 = 1 y por el otro lado, 1/0 lo estamos multiplicando por 0 entonces tambien tendríamos que 1/0 por 0 = 0. En resumidas cuentas, tendríamos que 0 = 1/0 x 0 = 1, osease que 1 = 0. Lo que es un absurdo. Entonces como sabemos que 1 es distinto de 0, entonces lo que supusimos (que existe 1/0) es lo que no sucede, así que NO existe 1/0.

Este post es el primero para explicar una serie de cosas de las que nadie se toma la molestia en explicarnos a detalle, la mayoría son bastante técnicos pero no incomprensibles. Intentaré cubrir cosas como:

• la ley del sandwich (sandwich exposed)
• porque no se puede dividir entre cero (0)
• porque las raices de los primos son irracionales
• porque sobran elementos usando funciones inyectivas y suprayectivas
• daremos una funcion de verdad biyectiva entre los naturales y los racionales

Todo en varios posts hasta que me canse o encuentre algo mas entretenido. Despues de todo, necesito más visitas.

Asi que empecemos con la fiesta:

Explicación de la ley del sandwich (sandwich exposed)

Antes que nada, espero no hacerlos bolas con la notación pero no tengo de otra con esta escritura en una sola linea.

Extremos por extremos y los de enmedio por los de enmedio. Así recita la ley del sandwich, pero lo que queremos es entender ¿porqué es cierta la siguiente igualdad?

 3

 5		 3·8		 24

----	=	------	=	-----

 7		 5·7		 35

 8

Donde esto es lo mismo que decir ( 3/5 ) / ( 7/8 ), osease una división de divisiones o un cociente de cocientes, como quieras llamarle. ¿Cómo te enseñaron a hacerlo? Tal vez te dijeron que lo hicieras así:

 3

 5			 3         7	 3	 8     3·8	 24

----	cambia a	--- entre --- =	--- x --- = ------ = ------

 7			 5         8	 5	 7     5·7	 35

 8

Supongo que todos estamos de acuerdo que las multiplicaciones de fracciones sí son los de arriba por los de arriba y los de abajo por los de abajo. Entonces veamos otro concepto muy extra super importantisimo en matemáticas: Multiplicar por uno (1) , mientras sea un uno adecuado.

Sabemos (¿sabemos?) que 5/5 = 1, y notamos que una igualdad va para los dos lados. Osease que 1 = 5/5 (¡¡¡sorpresa!!!) entonces si multiplicamos 3 x 1 es lo mismo que multiplicar 3 x (5/5). Esta es la idea básica que vamos a usar para obtener el resultado, multiplicar por uno.

Pero ¿cómo vamos a librarnos de las divisiones de divisiones con ese simple hecho? Muy fácil, mira: Si tenemos 7/8, para obtener un uno de ahí lo que hacemos es voltear la fracción y multiplicarla, osease:

 7     8    7 x 8     56

--- x --- = ----- = ---- = 1

 8     7    8 x 7     56

A esto se le llama inverso multiplicativo y es exactamente eso, el inverso (la operación inversa) de la multiplicación, es decir, la división. Un número es el inverso multiplicativo de otro si cuando los multiplicamos, el resultado es uno (1). Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 9 es 1/9 porque:

        1     9     1     9 x 1     9

 9   x --- = --- x --- = ------- = --- = 1

        9     1     9     1 x 9     9

Primero notamos que para poder hacer la operación tenemos que pasar el 9 a una notación de racionales, es decir, notar que 9 = 9/1, lo demás es claro por como sabemos que se multiplican estos. Todo esto para intentar simplificar la ley del changuis. Y ¿cómo vamos a simplificarla? primero notando que un número racional sigue siendo un número y tambien recordando que cualquier número por uno sigue siendo el mismo número. Entonces si tenemos:

 3

 5

---

 7

 8

Lo que vamos a hacer es multiplicar por el uno adecuado y este es (8/7) / (8/7) porque como 8/7 es un número y ese número entre si mismo no tiene porque dar algo distinto de uno (por las razones ya explicadas). Entonces vamos a las multiplicaciones.

 3     3     8     3 x 8     24

 5     5     7     5 x 7     35

--- = --- x --- = ------- = ----

 7     7     8     7 x 8     56

 8     8     7     8 x 7     56

Por como sabemos que se multiplican los quebrados. Entonces notamos que abajo tenemos 56/56 y ya habiamos quedado que eso es un uno, etonces queda así:

 3     3     8     3 x 8     24     24

 5     5     7     5 x 7     35     35

--- = --- x --- = ------- = ---- = ----

 7     7     8     7 x 8     56     1

 8     8     7     8 x 7     56

Pero también habiamos quedado que cualquier número entre uno sigue siendo el mismo número. Entonces y finalmente tenemos que:

 3     3     8     3 x 8     24     24

 5     5     7     5 x 7     35     35     24

--- = --- x --- = ------- = ---- = ---- = ----

 7     7     8     7 x 8     56     1      35

 8     8     7     8 x 7     56

Obteniento el resultado que esperabamos y por lo que es válida la ley del changuis.

Espero haya sido ilustrativo para todos, suerte.

• Entender que si tenemos un número (n), entonces el siguiente (n+1) es mas grande (n < n + 1) y no puede ser de otra manera, cosa que espero les sea obvia a todos
• Entender que es una demostración por contradiccon o reducción al absurdo.

Como el primer ingrediente es obvio, enfoquemonos en entender el segundo. Una demostración por reducción al absurdo es algo bastante sencillo, queremos probar que si ‘algo pasa’ entonces ‘otra cosa tiene que pasar’, asi que simplemente suponemos que ‘algo pasa’ y que no es cierto que ‘otra cosa tiene que pasar’, es decir que suponemos la hipotesis y negamos la tésis y el chiste es que si esto nos lleva a algo estupido, absurdo o que vaya en contra de algo sensato es porque lo que supusimos está mal así que el contrario es verdadero y el contrario es que si ‘algo pasa’ entonces ‘otra cosa tiene que pasar’ que es lo que queremos. Si, está bastante enredado pero piensalo y verás que es cierto.

Ahora si, como vamos a probar que los números son infinitos, primero necesitamos entender de que numeros estamos hablando (naturales, racionales, irracionales, enteros, complejos) y que significa que sean infinitos. Para evitarnos complicaciones por números estaremos hablando de los números Naturales, y ¿cómo podriamos decir que son infinitos?, pues diciendo que siempre existe un numero siguiente al que escogamos, así cualquiera que tomemos tiene un siguiente y este uno siguiente y ese otro siguiente y así ad infinitum. Entonces de lo que queremos convencernos es que para cualquier numero que tomemos, existe otro número que es más grande. Bastante fácil, ¿verdad?.

Pues no te hubiera aventado el rollo de las demostraciones por reducción al absurdo sino las fueramos a usar. Así que vamos a suponer lo que es equivalente a que no sean infinitos los numeros, osease que exista un número que tenga la propiedad que todos los múmeros sean mas chicos que él. Osease que ese número sea EL más grande de todos los números.

Y que vamos a hacer con ese número (llamémoslo n), pues fácil, tomamos el siguiente (n+1) pero como ese número es más grande que todos, entonces tiene que pasar que el siguiente (n+1) sea mas chico que tal numero (n), pero entonces notamos lo idiota (absurdo) que se escucha eso (n+1 < n) porque el siguiente por eso es el siguiente, tiene que ser más grande y no puede ser más pequeño. Y ahí tienen su absurdo así que no es cierto que los numeros no sean infinitos con lo que deducimos que efectivamente los números son infinitos (por lo menos los naturales).

Eso está muy bien, ya tenemos que los números Naturales son infinitos ¿cómo saber que todos los otros también son infinitos? Por suerte esta es más sencilla de responder entendiendo que si un conjunto está contenido en otro entonces el segundo tiene por lo menos el mismo número de elementos que el primero (porque es un pedazo). Así que como
los naturales estan contenidos en los enteros que estan contenidos en los racionales que están contenidos en los reales que están contenidos en los complejos
y como el primero (los naturales) es infinito, entonces los enteros son infinitos entonces los racionales son infinitos con lo que los reales son infinitos y tambien los complejos son infinitos.

De hecho hasta los racionales (incluso), todos tienen el mismo numero de elementos (algo desordenados pero ahí están), donde se da el salto de ‘aqui para acá ya no son los mismos’ es de los racionales a los reales que ya no son númerables. pero esa es harina de otro costal.

Muy bien, creo que eso es todo para una noche de viernes. Un saludo a todos.

Un detalle (detalle, aja) que me faltó en la ‘prueba’ de la no-numerabilidad de los reales era convencerlos a todos que habia tantos racionales como naturales, creo que es una de las pruebas que no siempre son claras o por lo menos sorprendentes y no es fácil encontrarlas en la red. Ahora, ¿Cómo hacer para contar los racionales?

Primero quedemos en cuenta que los racionales los veremos como un conjunto de pares de enteros donde el segundo de los enteros que tomemos (por cada parejita) no debe ser cero (no queremos dividir entre cero) y para obtener el racional asociado a esa pareja de enteros, solo lo haremos con el primer entero entre el otro. Ya los estoy escuchando, no mames, esa no es una definicion formal, así no se hace, deja de decir pendejadas. De todos modos, cualquiera que crea que estoy mal es porque es feo y estúpido, ademas nadamas quiero que lo entiendan y no caerles bien. Ademas vamos a pedirles otra condicion, que el racional este simplificado, osease que si tomamos 2/4, en vez de ese tomemos 1/2 pues 1/2=2/4 pero 1/2 es mas facil de manejar. Entonces ya quedamos en como vamos a tomar los racionales.

Antes de correr a la demostracion, necesitamos hacer notar unas cuantas cosas y dar un par de definiciones. La primera definicion que necesitamos es la de funcion. Una funcion es una regla para asignar elementos de un conjunto a otro. – Ahora resulta que si vas a ser formal con las cosas, regresate y arregla la definicion de los racionales. – Oh, ¿me vas a dejar hablar?. En cristiano, tenemos un conjunto A y de sus elementos dibujamos flechas hasta otro conjunto B de modo que de cada elemento de A salga una flecha y una nadamás a un elemento de B, nota que las flechas no tienen porque terminar en elementos distintos de B, varios pueden ir al mismo y eso no está mal, pero de hecho es exactamente lo que no queremos, queremos el tipo de funciones con las que podemos distinguir los elemtnso que se van mandando, osease que si no tomamos elementos distintos de A, queremos que vayan a elementos distintos de B, es decir, que no se repitan los elementos con los que ya se hayan mandado con la funcion. A este tipo de funciones las llamaremos funciones inyectivas.

- Inyec¿Qué?. – In-yec-ti-vas, que literalmente puedes inyectar los elementos de A en un pedazo de (si no es que todo) B. – Y esas de que me van a servir. – Muy facil, hay que notar que al hacer este proceso de inyectar los elementos de A en B mediante una funcion inyectiva, se cubre una parte de B aunque no necesariamente todo pero la parte que se cubre tiene tantos elementos como los que tiene A y esto nos va a servir para saber cuando un conjunto tiene más elementos que otro. De hecho así lo vamos a definir, un conjunto A tiene cuando mucho más elementos que otro conjunto B si existe una funcion inyectiva de A en B. Aqui es donde se pone sabroso todo porque esencialmente no podemos decir que como no se nos ocurre una funcion inyectiva entre dos conjuntos no la hay, si no la hay tendremos que probar que no existe ninguna. Aunque creo que no necesitaremos ese hecho.

Ahora viene el acto de fe. Supongamos que existe una funcion inyectiva de A en B y otra funcion, tambien inyectiva de B en A. entonces por la primera funcion, A tiene a lo mas el mismo numero de elementos que B y por la segunda funcion, B tiene a lo mas el mismo numero de elementos que A, entonces, clarisimamente A y B tienen el mismo numero de elementos, por lo menos es claro cuando tienen un numero finito de elementos, el acto de fe viene cuando consideramos que A y B pueden ser infinitos, el resultado se debe a uno de los grandes entre grandes, Georg Cantor y solo lo supondremos. Osease que si hay funciones inyectivas entre A y B hacia los dos lados, diremos que A tiene tantos elementos como B.

Aclarado el asunto, solo tenemos que encontrar funciones inyectivas entre los naturales y los racionales y viceversa. empezemos haciendo notar que si encontramos una funcion inyectiva entre A y una parte (subconjunto) de B, esto tambien es una funcion inyectiva entre A y B aun cuando solo cubramos una parte. Y para ver lo facil que va a ser todo despues de haber notado lo anterior empecemos con lo que nos importa.

Para ver que hay una funcion inyectiva de los naturales en los racionales no hay mas que notar que a cada natural n, lo podemos mandar en el racional n/1. Es inyectiva pues manda distintos naturales en distintos racionales. – Jajaja, no, no puede ser tan facil. – Si, ya lo discutimos, por eso empezamos con esta para sentir que avanzamos. La otra es la que se pone sus moños. Por lo menos ya tenemos que los racionales son por lo menos del tamaño de los naturales.

Ahora veamos como hacer una funcion inyectiva entre los racionales y los naturales. Ya habiamos quedado que los racionales eran parejas de enteros, digamosles p/q donde q no puede ser cero. Ahora, como son enteros hay varias posibilidades: que sean positivos o negativos. Entonces solo es mandar racionales dependiendo del signo que tengan sus partes, los multiplicamos y quedaria algo así: Si p es negativo lo mandamos a 2^-p, si p es positivo o cero lo mandamos a 3^p, si q es negativo lo mandamos a 5^-q, si q es positivo lo mandamos a 7^q. Entonces 3/5 se manda a 3³7⁵, -8/-11 se manda a 2⁸5¹¹, 0/59 se manda a 3⁰7⁵⁹, etc, etc. Es inyectiva pues estamos multiplicando numeros primos y si multiplicas distintos numeros primos distinto numero de veces te da oviamente distintos numeros por cada distinta paraja escogida, de hecho esto se justifica por el Teorema fundamental de la aritmetica., Entonces tenemos una funcion inyectiva de los racionales en una parte de los naturales por tanto hay una funcion inyectiva de los racionales en los naturales.

Esto y el argumento anterior nos dice que hay el mismo numero de naturales que de racionales. Es decir, hay una funcion biyectiva (biyeccion) entre los naturales y los racionales.

Jaja, estuvo menos horrible de lo que esperaba, espero te haya entretenido un rato leyendolo como yo escribiendolo.

Todo esto nadamas para aclarar un punto que será de donde partiremos hacia el mágico mundo de las matemáticas. El concepto que el pequeño Heberto usó se llama biyección (suena bastante feo pero veras que es bastante natural), las biyecciones necesitan dos conjuntos de cosas (numeros y letras, niños y balones, puertas y llaves) donde los dos conjuntos de cosas no tienen por que ser distintos. Entonces diremos que entre dos conjuntos (llamemoslos A y B) de cosas hay una biyeción si a cada elemento de A (balón) le podemos asignar ‘de alguna manera’ uno y solo uno de los elementos de B (niño). Ahora en cristiano que sino no entiendo, una biyección es el pintar lineas desde cada balón hasta cada niño, que a cada uno le toque solo uno, que nadie se quede solito, no va a haber niño sin balón ni balón sin niño.

Tienes 5 manzanas. – ¿Cómo sabes que son 5?. – No me puedes engañar, las estoy viendo, 1, 2, 3, 4, 5, si son 5. Entonces te acuerdas que ya leiste el parrafo anterior y empiezas a relacionar que a cada manzana (A) le asociaste ‘de alguna manera’ un número y solo un número (B), así que hay una biyección entre las manzanas que tienes y los numeros del 1 al 5. Más aún, empiezas a ver que muchas otras cosas también son una biyección, por lo menos todas las cosas que puedes contar son una biyección. Que bueno pero ya entrados en gracia, y ¿si no pudieras contar las cosas?, ¿qué pasa cuando ni por error puedes contar todas las cosas que necesitas contar?. Primero dejemos a un lado los casos patológicos como los pelos de un gato o los granos de arena en un desierto, si empezaras a contar todo eso eventualmente terminarias (o se muere el gato), con el suficiente tiempo es posible hacer la tarea (suficiente no quiere decir prudente) e independientemente de lo que creas del universo o del numero de estrellas que hay en él. Me refiero a casos donde realmente tengamos la certeza que no puedas nunca nunca de los nuncas nuncas terminar de contar las cosas que tengas que contar, por ejemplo, contar, debe ser claro que aunque lo intentes e intenes, no vas a poder de acabar de contar todos los números, siempre hay otro más grande y de ese siempre hay otro más grande y otro y otro. Osease que los números son infinitos. Ahora viene la pregunta del millón, ¿que es infinito?.

Seguramente debes tener una idea de lo que es el infinito, incluso Buzz Lightyear lo usaba, “al infinito y más allá”, lo entretenido estaba en que no hay nada ‘más allá’ del infinito. Esperame tantito, ¿cuándo has ido al infinito para saber?, es claro que existe algo infinito, algo que es más grande de lo que podríamos hacer, contar por ejemplo, ¿y no hay nada más allá? Todo depende de cuanta imaginación tengas. Antes de seguir con todo esto, definamos que un conjunto es infinito cuando, sin importar que numero tomemos, no podamos hacer una biyección entre el conjunto y los numeros anteriores al numero que escogiste. Se ve algo complicada, expliquemos, supon que tienes todos los numeros naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ……… ) un conjunto es infinito si cuando tomas el 9, no puedes hacer corresponder a todos los miembros del conjunto con los numeros del 0 al 9, y así con cualquier número que agarres. Entonces el conjunto va a tener siempre más elementos de los que podamos contar, así que no le queda de otra sino ser infinito. Antes de convencerte que hay algo más grande que el infinito tan natural que ya no es, necesito presentarte otro conjunto de numeros, vamos despacio, no hay prisa.

Los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ……… ) son tán útiles, podemos sumarlos, multiplicarlos y sorprendentemente la suma siguie siendo un numero natural, 3 + 2 = 5, 8 por 4 es 32, que bueno, uno esperaría que al jugar con números sigan siendo números tras los pases mágicos de la suma, incluso hasta podemos restarlos, como 9 menos 2 que es 7 o 3 menos 8 que es menos 5, y ¿que es un menos 5?, eso no es para nada natural, de hecho ni siquiera aparece en la lista que dimos, entonces aunque muy practicos, necesitamos un conjunto más grande. Entonces como somos muy buenos en esto, creamos a los enteros como unos numeros naturales para un lado y les pegamos otros naturales para el otro, algo así:
……., 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……
- No, esperate, ya los repetiste. – Bueno, entonces a los que vayan al revés de los que van naturalmente los marcamos como vacas, algo así:
……., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……
bien, ahora es más fácil notar donde está cada cosa. Ahora veamos, si los naturales ya eran infinitos, los enteros que acabamos de hacer son como doblemente infinitos (al infinito y mas allá, jajaja).

Antes de responder eso veamos un ejemplo de biyección con los naturales, antes habiamos dicho que para asignar ‘de alguna manera’ no era necesario que los conjuntos fueran distintos, entonces usemoslo. Si tomamos la secuencia de numeros pares 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …….. es claro que podemos seguir esa secuencia infinitamente. – Aguanta, aguanta, ya me estas confundiendo, no que era infinito y luego doblemente infinito y ahora un pedazo es igual infinito y no, no, no, ya explicame bien. – Mira, a lo que quiero llegar es a que todos esos infinitos miden lo mismo. – Y ¿como le vas a hacer?. – Hazme caso. Para ver que estos son igual de infinitos, pues bien fácil, hacemos lo mismo que el pequeño Heberto, ponemos lineas.

1 -> 2
2 -> 4
3 -> 6
4 -> 8
………
15 -> 30
…………
Así hasta el infinito, podemos solo dibujar unas cuantas e imaginar el resto porque tenemos más capacidad de abstracción que el pequeño Heberto. Entonces a cada numero natural le podemos asociar un numero par, es decir, tenemos una biyección entre los numeros naturales y los numeros pares, así que deben tener el mismo tamaño. – Entonces ¿dices que hay el mismo número de pares que de todos los números?. – Exactamente. – Aguanta, eso no pasa, de 5 manzanas no puedo agarrar unas cuantas, dejar otras y me sigan quedando 5 en cada lado. – Sorprendentemente, eso si pasa con los conjuntos infinitos, si puedes agarrarte un pedazo infinito del conjunto y te pueden sobrar un numero infinito, de hecho eso es algo que caracteriza a los conjuntos infinitos y cuando veas que se puede hacer algo así es porque el conjunto tiene que tener un numero infinito de elementos.

Imagina que tienes un hotel con tantos cuartos como numeros naturales y todos están numerados (un clásico), como das el mejor servicio del mundo tienes lleno el hotel, de repente llega un nuevo huesped, das el mejor servicio del mundo y no puedes negarle un cuarto, ¿que vas a hacer?, la respuesta es muy sencila, a cada cliente le dices que el cuarto siguiente es mucho mejor y por una promoción les darás ese cuarto y a los recien llegados los pones en el primero, siempre hay un cuarto siguiente así que siempre se pueden mover y entonces no por nada das el mejor servicio del mundo. Y ¿si llegan tantos clientes nuevos como numeros naturales? (si, ya se puso raro pero tambien tienes un hotel infinito) tienes que conservar tu estatus como el mejor hotelero, entonces le das otra gran promocion a tus clientes, como los cuartos con numero mayor siempre son mejores, les dices que pueden cambiarse al numero de cuarto que tengan por 2, osease que si están en el cuarto 3, pueden cambiarse al 6, si estan en el 25 al 50, el 138 al 276. Así que ahora solo tienes ocupados los cuartos pares, adivina donde vas a poner a los otros huespedes. – En los impares. Exactamente, habían llegado huespedes como números, así que les decimos que (como van todos numeraditos), se pongan de la siguiente manera: el 1 al 3, el 2 al 5, el 3 al 7, ….. osease que cualquiera lo mandamos a un cuarto impar y gracias a tu ingenio sigues siendo el mejor hotelero.

Si lo notaste, a un conjunto infinito le pegamos otro conjunto infinito y seguian siendo el mismo ‘número’ de elementos, lo mismo pasa con los enteros, son dos infinitos igualitos pero pegados, solo hay que acomodarlos de la manera correcta, un infinito a los pares y otro a los impares. – Entonces me engañaste, igual si le pego otro de esos infinitos va a seguir siendo el mismo, si entendí bien. – Entendiste bien, pero solo estas pensando que hay ‘ese’ infinito, ¿como sabes que no hay otros?. – Como Santo Tomás, hasta no ver no creer. Así que ¿como hacerte creer que hay cosas más grandes que infinito?. Para entenderlo bien, vamos a necesitar entender lo que es un número irracional. – Eso ya lo sé, es como cuando agarraron a mi tío el que se creía buzón foraneo. – Mejor vamos un poquito mas atrás, veamos primero lo que es un número racional, nú-me-ro.

Entonces con los números enteros ya podiamos hacer restas y nos seguían dando numeros enteros, ahora con estos podemos aumentar los horizontes para intentar dividir, podemos dividir 8 entre 2 y nos da 4, 15 entre 3 nos da 5, 3 entre 2 nos da, nos da, ¿nos da?. – No, otra vez ni dividir sabes, da 1.5. – Pero ese número no está en la lista. Entonces hacemos más grande al conjunto de enteros agregandole todas las divisiones posibles entre enteros (exceptuando el dividir entre 0), a este nuevo conjunto les decimos racionales, hay muchos más que enteros pero todos bien ordenaditos. ¿Qué le agregamos? le agregamos el 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, … 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, … 1567/1684, 12364/4987 además de los respectivos negativos. Ahora sí que le agregamos muchos más y sorprendentemente sigue siendo exactamente el mismo infinito. No quiero ahondar mucho en porque es así pues es algo largo de explicar, si te interesa puedes buscar ‘numerabilidad de los racionales’ y seguro te aclarará mucho, solo creeme que hay tantos naturales como racionales. – No, ya se puso largo todo esto y ni me dices cuales son los infinitos extra jumbo. – No te desesperes, que ya vamos para allá.

Si te das cuenta, empezamos con los numeros hasta el 10, esos eran fáciles. Luego el infinito (naturales), luego dos infinitos (enteros), luego un infinito numero de infinitos (racionales) y todos son lo mismo, podría parecer que no se puede ir más lejos. Supongo que has oido hablar de pi, hasta una película tiene. Pi es un número irracional porque no es posible acabar nunca de escribir todos sus decimales y no tienen ninguna repetición o secuencia, no es posible verlo como la división de dos enteros (como los racionales). Y ¿como saben que existe? se ha estimado su valor, que exactamente se puede conseguir así: En una hoja cuadriculada (por practicidad solamente), pinta un segmento de 1 cm, con la punta de un compás en un extremo del segmento y la otra al otro lado, haz la circunferencia, toma un trozo de hilo para ponerlo alrededor del circulo y exactamente una vuelta despues tendrás un hilo que mide pi. Este no es el único irracional que existe, tambien son irracionales raiz de dos, raiz de tres, raiz de 17, raiz de cualquier numero primo, y hay montones de constantes importantes que son irracionales, además un racional más un irracional es un irracional y racional por irracional es irracional, lo cuál agrega una infinidad extra de irracionales, y de hecho esto agrega muchos más de los que uno esperaría, a todo este conjuntote de números naturales, enteros, racionales e irracionales les llamamos numeros reales y es un conjunto con más elementos que el infinito que ya dominabamos. Esta es la parte realmente entretenida de ver, un infinito que supera al infinito normal (si, como los supersayajin).

Como podemos ver que este infinito es más grande, pues como lo dijo el pequeño Heberto, “si sobran niños o balones es seguro que no hay el mismo número”. – Pero son un numero infinito. – Si pero esa es la parte que hay que entender. Mejor vamos a hacerlo despacito. Vamos a ver que de hecho cualquier trozo (decente) de numeros reales es más grande que el infinito ya tratado.

Vamos a ver todo por partes, primero vamos a tomar todos los numeros reales entre 0 y 1(sin a 0 ni a 1), vamos a ver que tiene más elementos que los naturales y que tiene tantos como c los reales. Vamos por partes, primero quedemos en claro que cualquier número entre 0 y 1 lo podemos escribir como 0.1568765321….. osease 0. y una serie de decimales (cada decimal va del 0 al 9), ya sea que despues de algun momento la serie de decimales sean todos cero o que sea infinita, y en cristiano, es decir, al 0.1 le asignamos la serie infinita 0.1000000000….., al 0.35 le asignamos 0.35000000000… y a los que ya tenian una serie infinita de decimales pues se las dejamos 0.33333333333…… así que ya tenemos clasificados todos los numeros entre 0 y 1.

¿Que queremos ver? Queremos ver que si asignamos cada número entre 0 y 1 a cada natural entonces o nos van a sobrar naturales o nos van a sobrar numeros entre 0 y 1. Entonces por ahí empezamos. Supongamos que tenemos a todos los reales entre 0 y 1 enumeraditos y entonces los asignamos un numero, osease que los tenemos así: r1, r2, r3, r4, r5, ….. cada real tiene su propia serie de decimales, osease
r1 = 0.a1 a2 a3 a4 …..
r2 = 0.b1 b2 b3 b4 …..
r3 = 0.c1 c2 c3 c4 …..
…………….
Si, ya sé que empezamos con letras y con muchas pero es la unica manera que conozco para no hacerte tantas bolas con esto, ya sé, mejor les ponemos algo mas ad hoc.
r1 = 0. r1_1 r1_2 r1_3 r1_4 ……
r2 = 0. r2_1 r2_2 r2_3 r2_4 ……
r3 = 0. r3_1 r3_2 r3_3 r3_4 ……
……………..
Osease que r1_1 es el primer decimal de r1, r1_2 es su segundo decimal, etc. entonces (recuerda que tenemos a todos los numeros entre 0 y 1) con r6_17 sería el decimal 17 del número r6, r16849_156348 sería el decimal 156348 del numero r16849, bastante claro ¿verdad?. bueno, si ya los tenemos todos y asignamos a cada uno un natural. – Entonces ¿si son del mismo tamaño que los naturales?, me engañaste. – Espera, mira bien y vas a ver que no. Tenemos a todos los numeros entre 0 y 1, entonces podemos tomar el r1_1 (que es un numero entre 0 y 9) el primer decimal del primer real, lo ves y escoges un número distinto (es uno, quedan 9 posibilidades para escoger), lo anotamos en otra lista, llamemosle ‘x’ a la lista y en ves de ser una lista lo ponemos como un número, igual que los r1, r2, etc. Osease, estamos construyendo otro numero con todas las de la ley. entonces x = 0.x1 x2 x3 x4 x5… donde su primer decimal es distinto al de r1, bueno, entonces no puede ser r1, hacemos lo mismo para el siguiente decimal, vemos r2_2 y escogemos un número distinto, al número que escogimos se lo pegamos a x en el segundo decimal, entonces x no puede ser r2 (porque para que fuera igual tendría que ser igual en cada decimal) así que no es r1, no es r2. Repetimos el proceso, r3_3 lo cambiamos y se lo ponemos al 3er decimal, entonces tampoco puede ser r3, r4_4 lo cambiamos y se lo pegamos al 4to decimal de x. Así hasta completar la serie de x. ¿Que pasó? entonces tenemos a x que no puede ser ninguno de los r, entonces aunque intentamos cubrir a todos los numeros entre 0 y 1 con los naturales, de hecho nos sobraron reales, x es nadamás un ejemplo de estos, puedes cambiar cada decimal de x por otro y ya tienes otro que falta en la lista de las r, entonces si nos sobraron reales es porque tiene que haber más que los naturales. entonces hay más reales entre 0 y 1 que naturales, además que el pedazo entre 0 y 1 es nadamás un pedacito de todos los reales.

¿Ahora ya me crees que hay infinitos de distinto tamaño?. Con los reales tenemos más que con los naturales (que ya eran de por sí infinitos), este no es el unico ejemplo, de aquí podemos partir para crear infinitos cada vez más grandes y más grandes hasta llegar a un punto donde encontremos algo tan grande que sea realmente inalcanzable. Pero no nos enfocaremos a eso, si te intereza puedes buscar algo de informacion sobre ‘cardinales inalcanzables’. Mi proposito era mostrarte que había infinitos más grandes que otros y que no están tan lejos como podría parecer. Finalmente, para convencerte de que hay el mismo numero de numeros ente 0 y 1 que en toda la recta real, basta con ‘estirarla’ hasta cubrir a toda la recta, no le van a quedar huecos porque son mucisimos elementos.

Espero te haya entretenido un rato, espero la siguiente idea para otro entretenido viaje de matemáticas.