Muy bien, ya ha empezado mi semestre (lo cual me deja mucho menos tiempo libre) y me dí cuenta que este blog ha derivado en un blog de matemáticas y no de matemáticas, programación y quejas sin sentido contra las personas que comen espagueti con las manos sin limpiarse la boca y se creen buzones foráneos los fines de semana; como lo tenía planeado en un principio. Así que en los próximos posts dejaré a un lado las matemáticas para concentrar todo en algo como hacer notar a los novatos en Linux cual es la magia de la consola o como evitar la caja de arena de los navegadores cuando intentas abrir dominios distintos al tuyo con AJAX. Pero mientras voy armando esos posts, los dejo con otra entretenida lectura de matemáticas.
—CORTE AQUÍ—
Otra horrible experiencia explicada para beneplácito del púbico público, cuantas veces has peleado a muerte con las fracciones para que queden lo mas decentes posible, cuantas veces no has tenido mal una respuesta de examen solo por no haber reducido bien las fracciones. Ahora aquí tienes la respuesta, enclaustrada en texto preformateado con ortografía revisada para tu deleite.
Y ¿de que va esto? Pues vamos a entender como funcionan las fracciones para obtener la expresión más sencilla posible de ellas, no intento decir que esto es la última guía que necesitarás para simplificar fracciones, solo te doy algunos consejos a la hora de intentar evitar penas mayores- De hecho, releyendo el párrafo, no vamos a entender como funcionan las fracciones, de hecho en ningún momento me detengo a explicar el porqué funcionan las cosas. Solo nos remitiremos a la técnica necesaria. Vamos a necesitar:
- Saber que es un número primo
- Entender las descomposiciones de números en sus factores primos
- Saber hacer divisiones básicas ( como 70/2, 90/2, 150/3, 100/2, 1000/2, etc )
- Paciencia
El chiste de la simplificación de fracciones radica en hacer los números (el numerador y el denominador) lo más pequeños posible, sin afectar a la fracción en si. Esto se hace dividiendo ambos numerador y denominador entre un mismo número (Esbozos:sandwich_exposed), de manera que la división sea exacta (porque en los racionales solo podemos poner enteros en el numerador y denominador). Entonces, lo que vamos a hacer es desarrollar técnicas para hacer las divisiones lo más rápido posible. Primero tendrías que leer el texto Entender las descomposiciones de números en sus factores primos para que te dieras una idea de como vamos a hacerlo, aunque no es obligatorio. De hecho, este texto es casi una copia de lo que hicimos allá (sí, duplico el contenido para hacer énfasis en las cosas que creo realmente importantes, por lo menos hasta que las crean. Pueden hacer su chiste del axioma de elección), solo que aquí tenemos que hacerlo dos veces por cada división. No es taaan horrible como parece aunque si se necesita algo de paciencia. Primero vamos a decir que es lo que vamos a hacer ya en serio.
Tenemos una fracción, digamos p/q, entonces vamos a intentar, en orden y medida de lo posible:
- sacar la mitad de p y de q (dividirlos entre 2)
- sacar la tercera parte de p y q (dividirlos entre 3)
- sacar la quinta parte de p y q (dividirlos entre 5)
- sacar la séptima parte de p y q (dividirlos entre 7)
- intentar ver si se puede sacar la onceava y treceava parte fácil (entre 11 y 13 a la vez)
- rezar
Vamos a poner algo ya rudo de verdad para que veas que no hay que tenerle miedo a las fracciones. Me voy a evitar el hacer las divisiones (solo las sencillas) pues eso es algo que no me interesa ver aquí, solo nos interesa ver cuando se pueden dividir el numerador y el denominador para agilizar el proceso.
Así que vamos con los números, queremos reducir:
332972640 ----------- 5045040
1. Mitades
Es fácil saber si un número tiene mitad, para esto, solo es necesario saber si el número en cuestión es un número par. Esto se hace viendo en que dígito termina. Para que un número sea par, tiene que terminar en 0, 2, 4, 6 u 8.
Lo entretenido es sacar la mitad, para números grandes (como los que queremos reducir), lo más sencillo es sacar la mitad de cada dígito ordenando todo por la posición del dígito. Se escucha más horrible de lo que es. Ejemplo, ejemplo.
Notamos que 332972640 es un número par (termina en 0) y que 5045040 también es par (también termina en 0). Así que ambos números tienen mitad. Obtengamos esas mitades.
332972640 15||||||| 15|||||| | 1|||||| || 45|||| ||| 35||| |||| 1||| ||||| 3|| |||||| 2| ||||||| 0 --------- 166486320
Explicación: Tomamos los dígitos como tales, uno por uno y sacamos la mitad.
- La mitad de 3 es 1.5, pero no nos interesan los puntos así que dejamos el 15 empezando a escribirlo justo abajo del 3.
- Otra vez, la mitad de 3 es 1.5, así que escribimos 15 abajo de ese 3, en su propia fila.
- La mitad de 2 es 1 y lo ponemos abajo del 2 en su propia fila.
- La mitad de 9 es 4.5, entonces escribimos 45 abajo del 9 EN SU PROPIA FILA.
- La mitad de 7 es 3.5 y escribimos 35 abajo del 7, adivinaste, en su propia fila.
- Otra vez, la mitad de 2 es 1 y lo escribimos abajo del 2, ¿tengo que mencionar que lo escribimos en su propia fila?
- La mitad de 6 es 3 y ese 3 lo escribimos abajo del 6.
- La mitad de 4 es 2 y ese número lo ponemos abajo del 4.
- Y finalmente, la mitad de 0 es 0 y lo ponemos abajo del 0.
Para terminar, hacemos la suma de los números que obtuvimos para obtener que la mitad de 332972640 es 166486320. Si te fijas bien, no hubo que hacer divisiones más complicadas que 9/2 y obtuvimos un resultado correcto. -¿correcto? ¿cómo sabes que es correcto?. -De hecho es una onda de escribir al número de acuerdo a la posición de sus dígitos y haces ahí la división porque es más sencilla. Pero no entremos en esos horribles detalles.
Ahora, falta sacar la mitad de 5045040. Vamos.
5045040 25||||| 0||||| | 2|||| || 25|| ||| 0|| |||| 2| ||||| 0 ------- 2522520
Entonces tenemos que, sacando mitades:
332972640 166486320 ----------- = ----------- 2045040 2522520
Donde como el numerador y denominador terminan en 0, aseguramos que son pares y entonces se pueden dividir entre 2, así que hay que sacarle la mitad, otra vez.
166486320 05||||||| 3||||||| | 3|||||| || 2||||| ||| 4|||| |||| 3||| ||||| 15| |||||| 1| ||||||| 0 --------- 83243160
Si te fijas, el primer dígito es 1, así que su mitad es 0.5, entonces le escribimos 05 (con todo y el 0) justo abajo del 1. Y para el denominador tenemos.
1022520 05||||| 0||||| | 1|||| || 1||| ||| 25| |||| 1| ||||| 0 ------- 511260
Entonces tenemos que:
332972640 166486320 83243160 ----------- = ---------- = --------- 2045040 1022520 511260
Y como ambos terminan en 0, son pares y les sacamos OTRA VEZ la mitad. Ahora me ahorraré la división.
332972640 166486320 83243160 41621580 20810790 ----------- = ---------- = ---------- = ---------- = ---------- 2045040 1022520 511260 255630 127815
Ahora, hay que sacar mitades hasta que alguno de los dos (numerador o denominador) no se pueda dividir entre 2. Entonces en el último resultado notamos que 20810740 es par, así que se puede dividir entre 2, pero 127815 ya no es par (termina en 5) así que este ya no lo podemos dividir entre 2. Entonces esto termina la persecución de las mitades.
2. Tercias
Para saber si un número se puede dividir entre 3, lo que hacemos es sumar sus dígitos, si la suma de los dígitos es un múltiplo de 3, entonces el número original se puede dividir entre 3.
Este se ve raro pero también es muy fácil. recordamos el último resultado que tenemos que reducir, que es:
20810790 --------- 127815
Entonces para saber si el numerador se puede dividir entre 3, tomamos la suma de sus dígitos hasta que obtengamos algo que sea fácil saber que es múltiplo de 3.
20810790
2 + 0 + 8 + 1 + 0 + 7 + 9 + 0 = 27
2 + 7 = 9
Y 9 es claramente 3 x 3, así que 20810790 es divisible entre 3. Antes de hacer la división, falta ver que el denominador también se pueda dividir entre 3, para no hacer trabajo extra.
127815
1 + 2 + 7 + 8 + 1 + 5 = 24
2 + 4 = 6
Y 6 es 3 x 2, entonces 127815 se puede dividir entre 3. Y entonces ahora si hacemos las divisiones. 20810790/3 = 6936930 y 127815/3 = 42605. Y vamos otra vez a ver si se puede seguir reduciendo.
6936930
6 + 9 + 3 + 6 + 9 + 3 + 0 = 36
3 + 6 = 9
y el otro sería
42605
4 + 2 + 6 + 0 + 5 = 17
1 + 7 = 8
Entonces te fijas que 8 ya no es múltiplo de 3, entonces ni te molestas en hacer las divisiones porque sabes que será trabajo inútil.
3. Quinta
Vamos a la siguiente reducción. Para saber si un número es divisible entre 5, es muy fácil, solo ves el último dígito y si es un 0 o un 5, entonces el número es divisible por 5. Recordamos el último resultado.
6936930 --------- 42605
Que fue el resultado de la última división que terminamos. Ahora, el numerador termina en 0 y el denominador en 5 (que casualidad). Así que pasamos a hacer las respectivas divisiones. 6936930/5 = 1387386 y el otro es 42605/5 = 8521
Y notas que el resultado de dividir el numerador (el de arriba) entre 5 da 1387386 y ese ya no termina en 5 así que ya no sigues. Recapitulando.
6936930 1387386 --------- = --------- 42605 8521
En el caso que siguieran terminando en 0 o 5 ambos, sigues haciendo divisiones entre 5 hasta que ya no terminen en 5 o 0.
4. Séptima
Hasta ahora, todas habían sido bastante sencillas, de aquí en adelante todo se pone ya un poquito (poquito) más laborioso. Para saber si un número es divisible entre 7, tomas el último dígito, lo multiplicas por 2 y lo restas de los dígitos restantes, si el número que resulta es múltiplo de 7, entonces el número original es múltiplo de 7. Ya sé que se ve horrendo pero es más sencillo de lo que parece. Vamos.
Tenemos 1387386, para saber si es divisible entre 7.
- Tomamos el último dígito. 6.
- Lo multiplicamos por 2, 12.
- Tomamos los dígitos restantes 138738
- Y los restamos. 138738 – 12 = 138726
Ahora solo falta saber si 138726 es múltiplo de 7, y para saber eso, ya tenemos un procedimiento. Así que vamos otra vez.
- Tomamos el último dígito, 6.
- Lo multiplicamos por 2, 12.
- Tomamos los dígitos restantes 13872
- Y los restamos. 13872 – 12 = 13860
Y como ese número todavía es muy grande, lo hacemos de nuevo.
- Tomamos el último dígito, 0.
- Lo multiplicamos por 2, 0.
- Tomamos los dígitos restantes 1386
- Y los restamos. 1386 – 0 = 1386
Y otra vez.
- Tomamos el último dígito, 6.
- Lo multiplicamos por 2, 12.
- Tomamos los dígitos restantes 138
- Y los restamos. 138 – 12 = 126
Y otra, hasta que obtengamos un resultado sencillo.
- Tomamos el último dígito, 6.
- Lo multiplicamos por 2, 12.
- Tomamos los dígitos restantes 12
- Y los restamos. 12 – 12 = 0
Entonces notamos que 0 es 7 x 0, (si, 7×0 también cuenta), luego entonces 1387386 es divisible por 7. Y da como resultado 1387386 / 7 = 198198. Vamos con el denominador.
8521
- Tomamos el último dígito, 1.
- Lo multiplicamos por 2, 2.
- Tomamos los dígitos restantes 852
- Y los restamos. 852 – 2 = 850
Aquí podríamos hacerlo de dos maneras, la primera sería hacer el procedimiento completo (como arriba) y la otra sería que, como 850 termina en 0, podemos quitar ese 0 y seguir con el procedimiento (pero con menos dígitos). Vamos a hacerlo de la segunda manera.
85
- Tomamos el último dígito, 5.
- Lo multiplicamos por 2, 10.
- Tomamos los dígitos restantes 8
- Y los restamos. 10 – 8 = 2
Y claramente 2 no es múltiplo de 7. Entonces 8521 no es divisible entre 7. Así que no podemos reducir la fracción (pero quería que vieras el argumento).
5. Onceava y Treceava
Bueno, estas van juntas, porque es lo más lejos que llegaremos con este post. Aquí no hay un método explicito para saber si un número se puede o no dividir. Solo te daré unos consejos. Antes, recordemos en que nos quedamos:
1387386 --------- 8521
Bueno, ya no te aburriré con más intentos porque ya es lo más que pude reducir esa fracción. Ya terminamos. Solo que para no dejarte a media explicación mencionaré lo que falta.
Creo que solo los listaré.
Onceava
Mira fijamente el número, si tiene algún patrón de repeticiones aunque no sean iguales, es PROBABLE que el número se pueda dividir entre 11.
Por ejemplo 1387386 tiene un 387 y un 386 que son números consecutivos, así que yo intentaría dividir entre 11. De hecho, el resultado de dividir 1387386 / 11 = 126126
Y si te fijas, 126126 es 126 y 126, lo que da un patrón ‘lindo’ e intentaría dividir otra vez entre 11. 126126 / 11 = 11466.
Yo vería el 11 y el 66 e intentaría dividir otra vez, pero ahora estaría equivocado porque estos ya no se dividen.
Treceava
Esta es la menos útil porque solo parece funcionar en muy pocos casos, Lo mejor es probar. Fíjate en el primer y último dígitos del número y si el primero es múltiplo de 1 y el último es APROXIMADAMENTE el mismo múltiplo de 3, entonces intenta.
Por ejemplo, 11466 miras el 1 del principio y el 6 del final. el 6 es 3 x 2, y el 1 es obviamente 1 x 1, entonces yo intentaría dividir. 11466 / 13 = 882 y ahí me detengo porque 8 está muy lejos de 2. Sin mencionar que 882 es par.
Con esto acabamos este laargo post, espero no haberlos aburrido mucho. Por favor, Escriban algún comentario o correo si ven alguna operación equivocada. Alguna otra vez (supongo) mostraré el como se hace el proceso ya con algo de práctica. Saludos.