Tear me apart o como descomponer un número en sus factores primos

Ya estoy cansado así que hagamos esto lo más rápido e inodoro indoloro posible. Primero vamos a explicar el porque se puede descomponer un número (cualquier número) en un producto de sus factores primos y luego como se hace.

Recordamos como siempre la definición de número primo, que es un número que no puede ser dividido exactamente por ninguno de los números anteriores a él (excluyendo a 1). Antes que se me vaya el santo al cielo, recordamos algunos de los números primos ya por todos conocidos. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …. Con estos espero que nos baste por ahora. Y ahora si a la explicación (si no te interesa la explicación, puedes saltarte el párrafo).

Supongamos que tenemos un número entero positivo cualquiera, digamosle X. Entonces hay dos posibilidades, que X sea 1 o que X no sea 1 (uno) (jajaja) Si X es 1, entonces no hacemos nada porque 1 es el único entero positivo que no puede descomponerse en factores primos. Si X NO es 1, entonces por ser positivo, tiene que ser mayor que 1, entonces hay (otra vez) dos posibilidades, que X sea primo o que X no sea primo. Si X es primo, ya acabamos pues entonces X lo descomponemos como sus factores primos, es decir, los primos que multiplicados den X, osease que X se descompone en X. Si, esto es bastante bobo pero es claro, mira, como X YA es primo, no hay porque descomponerlo, así que simplemente saltamos y bailamos alrededor de cualquier mesa cercana por la alegría de haber terminado. Lo divertido es Si X no es primo, entonces, recordando la definición de número primo (en el segundo párrafo), significa que X SI se puede dividir por algún número anterior a él, digamosle P, y como ese número por ser anterior, no tiene mas opción que ser menor a X. Así que en este caso X es igual a P multiplicado por algún otro número, llamemosle Q a este otro número, entonces también podemos afirmar que Q tiene que ser mas pequeño que X (pues todos los números son positivos), entonces hacemos gala de un argumento recursivo diciendo que podemos aplicar el mismo argumento para P y para Q. Como P y Q son números finitos, hay un número finito de pasos para obtener una descomposición de estos en sus factores primos, ¿porque se tienen que descomponer en factores primos? pues porque si uno de los factores, digamos de P, no fuera primo, aplicamos otra vez el procedimiento y lo dividimos en partes mas pequeñas, y así hasta obtener solo factores primos.

Ya sé que se ve bastante enredado, si no lo entendiste bien leelo otra vez con calma y si no te interesa entenderlo bien puedes seguir y ver la técnica, se pone algo larga la explicación de la técnica por que están todas las divisiones a manita y trae truquitos explicados paso por paso.

Ahora, ¿como se factoriza un número cualquiera?. Digamos 138 600 (uno grande para que se vea bien como va la onda). La técnica más cómoda (a mi parecer) es haciendo una división, de un lado el número y del otro los factores que vayamos sacando. Algo así:

	138 600 | 
	        | 
	        | 
	        | 
	        | 
	        | 
	        |

Antes de seguir vamos a dar unas reglitas que te evitarán pensar demasiado:
• Si el número es par (termina en 0, 2, 4, 6 u 8), se puede dividir entre 2
• Si el número termina en 5 o 0, entonces se puede dividir entre 5
• Si la suma de los dígitos es un múltiplo de 3 (3, 6, 9, 12, 15, 18, etc), entonces el número se puede dividir entre 3

Ahora si vamos a lo barrido intentando no dejar nada al azar. Empezamos, por ser más fácil, por los primos más pequeños para pelearnos con los más grandes ya que estemos encarrerados. Notamos que 138 600 termina en 0 y por eso es par, entonces se puede dividir entre 2, que es lo mismo que decir que tiene mitad.

Tip: Para sacar la mitad de un número, vele sacando la mitad a cada dígito y solo suma al final, si un dígito no tiene mitad exacta, acomoda la mitad “como si fueran puntos decimales” pero sin escribir el punto. Osease que como el primer dígito (uno 1) no tiene mitad exacta, la mitad sería 0.5, entonces pones el 0 debajo del 1 y el 5 debajo del siguiente dígito, esto sería así:

138 600  | 2 
05| ||| 
 15 ||| 
  4 ||| 
    3|| 
     0| 
      0 
------------- 
 69 300

Con algo de practica verás que es mucho más rápido así. Entonces siguiendo con el procedimiento, notamos que 69 300 termina en 0 así que es par y por ende le podemos sacar mitad.

69 300  |  2 
3| ||| 
 4 5|| 
   15| 
    0| 
     0 
------ 
34 650

Que también time mitad:

34 650  |  2 
15 
 2 
   3 
    25 
     0 
------- 
17 325

Entonces vemos que este ya no es un número par, así que hay que pensar en otra cosa porque todavía es un número bastante grande. Antes de continuar, recapitulemos lo que llevamos.

138 600  |  2 
 69 300  |  2 
 34 650  |  2 
 17 325  | 
         |

Este es el orden que debe llevar, las otras operaciones como sacar las mitades deberían ser solo mentales (si, mentales). Entonces tenemos que buscar que número divide a 17 325. Notamos que la suma de sus dígitos es 1+7+3+2+5 = 18 que es múltiplo de 3 ( 6 x 3 =18 ) Si no te sabes la tabla del tres (deberías, vamos a usarla para hacer las divisiones) puedes seguir sumando los dígitos. 1 + 7 + 3 + 2 + 5 = 18 y 1 + 8 = 9 que es 3 x 3 así que con eso podemos decir que 17 325 es múltiplo de 3. La parte divertida, hacemos la división.

	      5 775 
	   --------- 
	 3 | 17 325 
	    -15 
	    --- 
	      2 3 
	     -2 1 
	     ----- 
	        22 
	       -21 
	       ---- 
	         15 
	        -15 
	        ---- 
	          0

Entonces 17 325 / 3 = 5775, probamos otra vez, 5 + 7 + 7 + 5 = 24, 2 + 4 = 6 y 6 es múltiplo de 3, entonces podemos volver a dividir entre 3.

	    1 925 
	  -------- 
	3 | 5 775 
	   -3 
	   --- 
	    2 7 
	   -2 7 
	   ----- 
	      07 
	      -6 
	      --- 
	       15 
	      -15 
	       ---- 
	         0

Entonces 5 775 / 3 = 1 925, probamos otra vez, 1 + 9 + 2 + 5 = 17, 1 + 7 = 8. Notamos que 8 NO es múltiplo de 3, así que 1 925 no se puede dividir entre 3. Antes de seguir, recapitulemos.

138 600  |  2 
 69 300  |  2 
 34 650  |  2 
 17 325  |  3 
  5 775  |  3 
  1 925  | 
         |

Entonces 1 925 no se puede dividir entre 3, pero notamos que como termina en 5, se puede dividir entre 5. Y vamos otra vez.

	      385 
	  -------- 
	5 | 1 925 
	   -1 5 
	   ----- 
	      42 
	     -40 
	     ---- 
	       25 
	      -25 
	      ---- 
	         0

Entonces 1 925 / 5 = 385, que otra vez termina en 5, así que hacemos otra vez la división.

	    77 
	  ------ 
	5 | 385 
	   -35 
	   ---- 
	     35 
	    -35 
	     --- 
	        0

Entonces 385 / 5 = 77, 77 no termina en 5, 77 no termina en 0, así que no se puede dividir entre 5, aquí viene la parte entretenida, para saber si un número es divisible entre 7, 11, 13 o cualquier otro primo mayor, lo único que funciona es hacer las divisiones y esperar tener suerte, así que vamos a lo que nos truje.

	    11 
	  ----- 
	7 | 77 
	   -7 
	   --- 
	    07 
	    -7 
	    --- 
	      0

Entonces 77 / 7 = 11 y como 11 ya es primo, terminamos. En un caso más general donde no te quede algo así de lindo, lo correcto es seguir haciendo divisiones hasta que te quede al final un número primo. Y recapitulando las cuentas, debería quedarte algo así:

138 600  |  2 
 69 300  |  2 
 34 650  |  2 
 17 325  |  3 
  5 775  |  3 
  1 925  |  5 
    385  |  5 
     77  |  7 
     11  |  11 
      1  |

Donde a 1, como ya no podemos dividirlo (solo 1 divide a 1), ya terminamos.

El chiste de esto es notar que 138 600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 x 11 y que expresamos ese número en términos de factores primos y solo primos. Esto es muy útil para la simplificación de fracciones (que será el siguiente post) y para otro par de artilugios indispensables en matemáticas.

Espero te hayas entretenido con este post y que haya resuelto alguna de tus dudas. Suerte.

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27 Responses to Tear me apart o como descomponer un número en sus factores primos

  1. gloria abarca says:

    buscar cuando un numero divide a?

  2. cleek says:

    depende de que números sean, escribe tu duda y con mucho gusto.

    O tal vez no entendí lo que preguntabas.

  3. diana milena florez says:

    deberian solucionarnos nuestros ejercicios

  4. cleek says:

    Si y debería cobrar en cervezas.

  5. rocio says:

    hola
    yo voy a 6º y no me acuerdo como descomponer los numeros, en la escuela nos dijeron q tniamos q
    descomponer nuestro numero de documento (DNI) bueno yo intente todo pero no entiendo me explican?
    por favor :)
    tkm
    rocio

  6. rocio says:

    HOLA A TODOS LOS DE ESTA PAG
    :) (k) :) (*)

  7. rocio says:

    ME pueden alludar??? :(

  8. rocio says:

    please:(:(:(:(

  9. rocio says:

    che :l

  10. nanacy says:

    cuando descompongo un número en sus factores primos debo empezar por 2 y luego puedo dividir entre 5 y luego dividir entre 3

  11. cleek says:

    @rocio :P

    @nanacy Puedes hacerlo en el orden que quieras.

  12. lisi says:

    esto bes muy facil este temaa cualquiera lo puede saber un consejo analisen y piensen y no se compliquen amo las matematicas y son super

  13. lisi says:

    hola me pueden ayudar no lo buelvan a decir pinesen y todoestara bien y vas a tener un5.0

  14. cleek says:

    Como siempre y siempre, se me olvida ponerle una fuente mono espaciada a las cosas que deben llevarla. Prometo así cabrón pinky promise ya ponerle unos estilos decentes y actualizar y escribir más seguido.

    @lisi gran manera de pensar :) aunque me permito precisar que no está mal pedir ayuda, muy mil veces es necesario y otro tanto útil. Pensar por tu cuenta siempre y siempre siempre es muy divertido, pero que tengas a alguien que te diga que vas bien o que te corrija cuando, aunque parezca válido tu razonamiento, es icorrecto o cuando no se te ocurra para donde seguir, eso es muy más extra mejor que pensar a solas y te ahorra mucho tiempo. La inteligencia no basta, necesitas también imaginación y una guía. De cualquier modo, vas por un muy buen camino. ¡¡¡Sigue así!!!

  15. richard says:

    MUCHAS GRACIAS POR LA EXPLICACION , ERES DE UN GRAN AYUDA. SIGUE ASI … SALUDOS DESDE PERU..

  16. camila says:

    a mi me ayudo mucho esto no se si lo que hice esta bien pero me ayudo un moonton muchisimas gracias!

  17. carolina says:

    la explicacion es exelentegracias bas a ser muy famoso

  18. Alex Daniels says:

    Yo solo vine a esta pagina para compiarme para una tarea

  19. mercedes says:

    me clarifico mi duda gracias

  20. no se cual es la respuesta pero les digo algo la unica forma que la consigan es por yahho ok bye

  21. Diana Moradel says:

    Holaaaaa. bueno en la explicacion esta totalmente claro todo. felicito a la o las personas que escribieron eso. solo tengo una duda……………………puedo comprarles su cerebro.

  22. yassin says:

    eres un gra jenio tio sigue asi te msndo los saludos desde marruecos-tanger

  23. julian says:

    como descompongo el numero 325

  24. cleek says:

    325 termina en 5, entonces ese es un buen punto para empezar. 325 / 5 = 65, nuevamente dividimos entre 5. 65/5 = 13.

    Y 13 ya es primo así que terminamos.

    325 = 5 * 5 * 13

    Saludos. :)

  25. hola!!!!!!!!
    voy a 6to y quiero saber como se pueden descomponer los siguientes números:
    701.900 y 435.640 …..mi maestra me explico tres maneras de descomponer pero no me acuerdo me podrían ayudar????

  26. cleek says:

    701 es primo
    900 es: 2, 2, 3, 3, 5 y 5
    435: 3, 5 y 29
    640: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 y 5

    :)

  27. magali says:

    como descomponer el numero 3,25

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