Porque sobran elementos en las funciones inyectivas

Ahora vamos a ver las vicisitudes de las funciones inyectivas, al principio intenté acomodar el post de una manera un poquito más ordenada pero parece imposible, por lo menos para mi cabeza. Así que ahí les van las cosas como se me van ocurriendo.

Función inyectiva: Una función f es inyectiva si y solo si para todos x,y en el dominio de f. Si x es distinto de y, entonces f(x) es distinto de f(y).

En cristiano: Una función f es inyectiva si a cualesquiera dos puntos distintos los lleva a puntos distintos. Osease que en ningún lugar se va a repetir un resultado.

Imaginalo así: tienes un grupo de 5 personas y 8 sillas. Quieres acomodarlas de manera que solo una persona quede en una silla (que quede asentado (jajaja) que nunca dije que tenía que haber una persona en cada silla, sino que si una persona se va a sentar en una silla, esta no debe estar ocupada). ¿Cómo las acomodas? Fácil:

Persona 1		--->		Silla 1
Persona 2		--->		Silla 2
Persona 3		--->		Silla 3
Persona 4		--->		Silla 4
Persona 5		--->		Silla 5
					Silla 6
					Silla 7
					Silla 8

Te sobraron sillas ¿y?. Solo tenias que acomodar a una persona en una silla, nunca se dijo que había que ocupar todas las sillas. Si hubiéramos querido que se ocuparan todas las sillas, entonces por lo menos a una persona le hubieran tocado más de una silla. Y en este último caso, la función no sería inyectiva. Porque por eso se llama inyectiva, porque inyecta un elemento del dominio (personas) en uno y solo uno del contradominio (sillas).

Creo que el ejemplo es bastante ilustrativo de porque sobran elementos del contradominio (sillas), pero por si las dudas. Sobran elementos porque no tenemos ninguna obligación de cubrir a todos los elementos del contradominio, por lo menos hablando de funciones inyectivas. La única obligación que tenemos es la de tomar a todos los elementos del dominio (personas) y mandar a ese elemento a uno del contradominio (sillas), imagina la descortesía de dejar a alguien sin sentar habiendo sillas vacías o de sentar a alguien en una silla que ya está ocupada.

Otra equivalencia para poder decir que una función es inyectiva es tomar un elemento (q) del contradominio y tomar dos elementos (a y b) del dominio de tal manera que f(a) = q y que f(b) = q. Entonces lo que hay que probar es que a = b.

En cristiano: Si tomas dos elementos que van a dar al mismo, para que sea inyectiva la función tendría que pasar que esos dos elementos fueran el mismo, porque si fueran distintos tendrían que ir a distintos elementos. Nota que esta es una cualidad que no tienen todas las funciones y por eso se les da una clasificación especial (les decimos inyectivas).

Ahora, ¿cómo vemos que una función no tiene porque ser inyectiva?. Solo imagina esta situación: Tienes 5 trozos de pizza y 3 personas hambrientas. Suponiendo que solo puedas dar trozos completos de pizza, por lo menos a uno le va a tocar más de un pedazo. Esa es una función que no es inyectiva porque hay por lo menos dos pedazos de pizza que van a ser comidos por la misma persona.

Además de todo esto, creo que vale la pena mencionar algunas cosas entretenidas para las que se usen estas funciones. Por ejemplo, acabamos de ver que si tenemos una función inyectiva entre dos conjuntos, lo más que puede pasar es que el dominio tenga cuando mucho el mismo número de elementos que el contradominio, de hecho el contradominio puede tener más elementos (si, ya vimos eso). Entonces podemos extender este concepto a conjuntos más grandes de cosas (como conjuntos infinitos) y comparar si alguno tiene más elementos que otro.

Otro ejemplo muy útil del álgebra lineal es para comprobar que una función lineal es inyectiva, se reduce a un sencillito calculo con el núcleo de la función. De hecho es solo comprobar que el único elemento que va a cero es cero.

Bueno, ya no se me ocurre otro. Espero te haya ayudado.