Porque las raices de los primos son irracionales

Para esto vamos a necesitar saber lo que es un número primo, un número racional y un máxmo común divisor.

  • Número primo. Es un número que no puede ser dividido de forma exacta entre ningún otro número anterior (excepto el 1, porsupuesto). Como ejemplo tenemos al 5, que no puede ser dividido de forma exacta por el 2, ni por el 3, ni por el 4.
  • Número racional. Es un número que podemos expresar como cociente (división) de dos enteros. Como ejemplos tenemos al 1/3, 2/5, 9 (= 9/1), 0 (= 0/3, 0/5, 0/9, etc).
  • Máximo común divisor de dos números. Este es el más complicado de todos. Suponte que tenemos dos números cualesquiera, digamos 72 y 90, entonces podemos descomponer a estos números en sus factores primos (números primos que multiplicados den el número que buscamos). Por ejemplo 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3, mientras que 90 = 2 · 3 · 3 · 5. Notamos que es la única manera de descomponer estos números (por el Teorema fundamental de la aritmética). Ahora sí, el Máximo común divisor de dos números es el resultado de multiplicar los primos que tienen en común en su descomposición (putamadre, se escucha horrible). En cristiano, ¿cuáles son los numeros que tienen en común las descomposiciones de 72 y 90 ?. 24 tiene 2, 2, 2, 3 y 90 tiene 2, 3, 3, 5 así que los que tienen en común son 2, 3 y 3 entonces el máximo común divisor es 2 · 3 · 3 = 18. Los que tengan en común multiplicados. Notamos que en un caso, es posible que los números no tengan ningún factor en común y entonces decimos que el MCD (Máximo común divisor) de esos dos números es 1.

Tendremos en cuenta que cualquier racional lo podemos expresar de distintas maneras, osease que 1/2 lo podemos ver como 2/4 y no solo ese, 1/2 = 2/4 = 3/6 = 5/10 = 11/22 = ……. Entonces ¿cuál va a ser la expresión que tomemos para ese racionál? No es tán fácil adivinar pero tiene que ver con el máximo común divisor entre los dos numeros que tomemos del racional (de hecho eso es lo que le quitamos a los números).

Ahora, tomamos un racional cualquiera p/q, este racional está formado de dos enteros p y q (duh) y si tomamos el MCD de p y q, tenemos que p = MCD x R y q = MCD x S. Osease que como MCD está en común con los dos, R tiene que ser los factores que sobraron de p y S son los factores que sobraron de q. entonces p/q = (MCD x R)/(MCD x S), entonces simplemente reescribimos esto como p/q = MCD/MCD x R/S. Otra vez:

 p     MCD x R     MCD     R
--- = --------- = ----- x ---
 q     MCD x S     MCD     S

Claramente al hacer las operaciones es obvio que es cierta la descomposición. Entonces notamos que MCD/MCD = 1. Entonces p/q = R/S. Cual es la diferencia, que R y S ya son dos números sin factores primos en común. Tambien es facil notar que para cualesquiera dos enteros podemos hacer la misma construcción y siempre poder obtener otros dos enteros sin factores en común. Por ejemplo, para 12/24 tomamos 1/2, para 27/3 tomamos 9/1, es decir, simplificamos la fracción. Entonces como le vamos a hacer para ver que las raices de los múmeros primos son irracionales. Antes nos acordamos de unas simples reglas para despejar: si está dividiendo, pasa multiplicando y para quitar una raíz elevamos los dos lados al cuadrado.

Vamos a necesitar usar otro hecho que no es obvio. Es raro de plantear pero no es dificil de entender. Si descomponemos un número r en sus factores primos y tenemos un primo p que no aparece en esa lista, entonces al descomponer r2 (r al cuadrado), p sigue sin aparecer en esa lista. Osease, que si descompnemos 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 y vemos que 7 no aparece ahí, entonces en 1802 = ( 2 · 2 · 3 · 3 · 5 )2 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5, en esta lista 7 sigue sin aparecer. Al reves también. Si un primo aparece al descomponer un cuadrado de un número, entonces ese primo tiene que aparecer al descomponer el número sin elevar al cuadrado, porque el cuadrado es repetir la lista dos veces, entonces si un primo aparece ahí, de hecho tiene que aparecer dos veces.

Lo vamos a hacer por reducción al absurdo, vamos a suponer algo y luego vamos a ver que es idiota suponer eso, así que eso no es cierto, entonces si no es cierto, es falso. Pero paso a pasito. Tenemos un número primo p, vamos a suponer que la raíz cuadrada de p no es un número irracional, osease que vamos a suponer que la raíz cuadrada de p es racional. Entonces como es racional, tiene que ser que (raíz de p) = q/r para algunos q y r enteros (porque esto es ser un racional) pero tomamos la expresión en la que q y r no tienen factores en común. Entonces nos quitamos la raíz de encima elevando al cuadrado para otener que p = q2/r2 entonces despejamos a q2 para obtener que p · r2 = q2, aqui notamos que como p es un primo, entonces p aparece en la descomposición de q2 y de hecho también en la descomposición de q (sin el cuadrado). Perfecto, nada fuera de lo normal. Esperate, si aparece en la descoposición de q, tendríamos que q = p · S, donde S es el resto de la descomposición. Entonces tendríamos que p · r2 = q2 = (p · S)2 = p2 · S2. Entonces, pasamos la p de p · r dividiendo y tenemos que r2 = p · S2 (donde esta p ya no está al cuadrado). Y otra vez, notamos que como p es un primo, p tiene que aparecer en la descomposición de r2 y por ende también de r (sin el cuadrado). Entonces tenemos que el primo p aparece en la descomposición de q y en la descomposición de r. Si recuerdas habiamos tomado q y r de tal manera que no apareciera ningún primo en común pero acabamos de encontrar uno. Esto es absurdo (porque no puede estar y no estar al mismo tiempo), así que lo que supusimos es idiota y por ende falso.

Así que no es cierto que la raíz cuadrada de un primo sea racional, entonces no le queda de otra sino ser IRRACIONAL.. Se puso largo y confuso pero al final ya está el resultado.

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3 Responses to Porque las raices de los primos son irracionales

  1. otero says:

    las raices de todos los numeros primos son irracionales
    la demostracion es la siguiente
    supongamos que existe una fraccion irreducible tal que

    a/b = raiz(primo)

    si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad

    a^2/b^2 = primo

    multiplicando ambos lados de la igualdad por b^2

    (a^2*b^2)/b^2 = primo * b^2

    que es igual a

    a^2 = primo * b^2

    esta igualdad nos dice que en un lado existe un numero primo
    por lo tanto en el otro lado o sea en a^2 debe estar, como
    es un numero elevado al cuadrado ese numero estara por
    duplicado o sea dos veces si esta dos veces en a^2 en el
    otro lado tambien estara dos veces por lo tanto tambien
    estara en b^2, por el mismo motivo que hemos explicado
    en b^2 estara dos veces.
    hemos llegado a una contradiccion la fraccion a/b es
    reducible lo que entra en contradiccion con la suposicion
    que vimos al principio, a/b era irreducible
    por lo tanto no existe una fraccion a/b irreducible que
    sea igual a la raiz de cualquier numero primo
    por lo tanto todas las raices de los numeros primos
    son irracionales

  2. todas las raices de los numeros primos son irracionales

    la demostracion es la siguiente
    supongamos que existe una fraccion irreducible

    tal que a/b = raiz(primo)

    si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad

    a^2/b^2 = primo

    si lo multiplicamos por b^2 ambos lados

    (a^2*b^2)/b^2 = primo * b^2

    que es igual a

    a^2 = primo * b^2

    esta igualdad nos dice que en un lado hay un numero
    primo por lo tanto en el otro lado de la igualdad
    o sea en a^2 tambien estara, como a^2 es un numero
    elevado al cuadrado estara por duplicado o sea dos
    veces como en a^2 esta dos veces en el otro lado
    estara tambien dos veces por lo tanto en b^2 tambien
    estara, por el mismo motivo que hemos explicado en b^2
    estara tambien dos veces.

    hemos llegado a una contradiccion la fraccion a/b es
    reducible lo que entra en contradiccion con la suposicion
    que vimos al principio suponiamos que la fraccion a/b
    era irreducible

    por lo tanto no existe una fraccion a/b de numeros enteros
    irreducible que sea igual a la raiz de cualquier numero
    primo

    por lo tanto las raices de todos los numeros primos son
    irracionales

  3. ================================================
    LA RAIZ DE CUALQUIER NUMERO PRIMO ES IRRACIONAL
    ================================================

    la demostracion es la siguiente

    El método que vamos a utilizar para la demostración
    es el de la reducción al absurdo. Este método
    consiste en suponer que se cumple una hipótesis,
    hacer operaciones verdaderas con ella y si se llega
    a un absurdo es que lo que habíamos supuesto era falso.

    supongamos que existe una fraccion irreducible tal que

    a/b = raiz(numero primo)

    si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad

    a^2/b^2 = numero primo

    si multiplicamos ambos lados por el mismo numero

    en este caso por b^2

    (a^*b^2)/b^2 = primo * b^2

    que es igual

    a^2 = primo * b^2

    esta igualdad nos dice que en un lado hay un numero
    primo como factor luego en el otro lado de la igualdad
    tambien estara o sea en a^2, como este numero es un
    numero elevado al cuadrado el numero primo que hemos
    puesto como ejemplo estara por duplicado o sea dos
    veces,si esta dos veces como factor en un lado en el
    otro tambien estara dos veces o sea en primo * b^2
    por lo tanto tambien estara en b^2 por el mismo motivo
    que hemos explicado en b^2 tambien estara dos veces

    hemos llegado a una contradiccion la fraccion a/b es
    reducible lo que entra en contradiccion con la suposicion
    que hemos puesto al principio la fraccion a/b estaba lo
    mas simplificada posible era irreducible
    por lo tanto no existe una fraccion a/b de numeros
    enteros irreducible que sea igual a la raiz de cualquier
    numero primo

    por lo tanto la raiz de cualquier numero primo es
    irracional

    ====================
    SEGUNDA DEMOSTRACION
    ====================

    en esta demostracion intentaremos construir una fraccion
    a/b que sea igual a la raiz de cualquier numero primo

    supongamos que existe una fraccion a/b = raiz(7)

    he elegido el 7 pero puede ser cualquier numero primo

    si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad

    a^2/b^2 = 7/1

    esta igualdad nos dice que en a^2 puede estar el numero
    7 como factor un numero de veces impar o par, si esta
    un numero de veces impar en b^2 estara un numero de
    veces par, si en a^2 esta un numero de veces par en
    b^2 estara un numero de veces impar.

    en ambos casos uno de los numeros o bien a^2 o bien b^2
    debe estar necesariamente el numero 7 como factor un
    numero de veces impar por ser un numero primo.
    y aqui esta la conclusion, no es posible construir un
    numero que elevado al cuadrado tenga como factor primo
    el 7 y que aparezca un numero de veces impar.

    asi pues la fraccion a/b = raiz(7) no existe

    esta conclusion se extiende a cualquier numero primo
    por lo tanto la raiz de cualquier numero primo es
    irracional

    cordiales saludos
    candido otero

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