Porque las raices de los primos son irracionales

Para esto vamos a necesitar saber lo que es un número primo, un número racional y un máxmo común divisor.

• Número primo. Es un número que no puede ser dividido de forma exacta entre ningún otro número anterior (excepto el 1, porsupuesto). Como ejemplo tenemos al 5, que no puede ser dividido de forma exacta por el 2, ni por el 3, ni por el 4.
• Número racional. Es un número que podemos expresar como cociente (división) de dos enteros. Como ejemplos tenemos al 1/3, 2/5, 9 (= 9/1), 0 (= 0/3, 0/5, 0/9, etc).
• Máximo común divisor de dos números. Este es el más complicado de todos. Suponte que tenemos dos números cualesquiera, digamos 72 y 90, entonces podemos descomponer a estos números en sus factores primos (números primos que multiplicados den el número que buscamos). Por ejemplo 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3, mientras que 90 = 2 · 3 · 3 · 5. Notamos que es la única manera de descomponer estos números (por el Teorema fundamental de la aritmética). Ahora sí, el Máximo común divisor de dos números es el resultado de multiplicar los primos que tienen en común en su descomposición (putamadre, se escucha horrible). En cristiano, ¿cuáles son los numeros que tienen en común las descomposiciones de 72 y 90 ?. 24 tiene 2, 2, 2, 3 y 90 tiene 2, 3, 3, 5 así que los que tienen en común son 2, 3 y 3 entonces el máximo común divisor es 2 · 3 · 3 = 18. Los que tengan en común multiplicados. Notamos que en un caso, es posible que los números no tengan ningún factor en común y entonces decimos que el MCD (Máximo común divisor) de esos dos números es 1.

Tendremos en cuenta que cualquier racional lo podemos expresar de distintas maneras, osease que 1/2 lo podemos ver como 2/4 y no solo ese, 1/2 = 2/4 = 3/6 = 5/10 = 11/22 = ……. Entonces ¿cuál va a ser la expresión que tomemos para ese racionál? No es tán fácil adivinar pero tiene que ver con el máximo común divisor entre los dos numeros que tomemos del racional (de hecho eso es lo que le quitamos a los números).

Ahora, tomamos un racional cualquiera p/q, este racional está formado de dos enteros p y q (duh) y si tomamos el MCD de p y q, tenemos que p = MCD x R y q = MCD x S. Osease que como MCD está en común con los dos, R tiene que ser los factores que sobraron de p y S son los factores que sobraron de q. entonces p/q = (MCD x R)/(MCD x S), entonces simplemente reescribimos esto como p/q = MCD/MCD x R/S. Otra vez:

 p     MCD x R     MCD     R
--- = --------- = ----- x ---
 q     MCD x S     MCD     S

Claramente al hacer las operaciones es obvio que es cierta la descomposición. Entonces notamos que MCD/MCD = 1. Entonces p/q = R/S. Cual es la diferencia, que R y S ya son dos números sin factores primos en común. Tambien es facil notar que para cualesquiera dos enteros podemos hacer la misma construcción y siempre poder obtener otros dos enteros sin factores en común. Por ejemplo, para 12/24 tomamos 1/2, para 27/3 tomamos 9/1, es decir, simplificamos la fracción. Entonces como le vamos a hacer para ver que las raices de los múmeros primos son irracionales. Antes nos acordamos de unas simples reglas para despejar: si está dividiendo, pasa multiplicando y para quitar una raíz elevamos los dos lados al cuadrado.

Vamos a necesitar usar otro hecho que no es obvio. Es raro de plantear pero no es dificil de entender. Si descomponemos un número r en sus factores primos y tenemos un primo p que no aparece en esa lista, entonces al descomponer r² (r al cuadrado), p sigue sin aparecer en esa lista. Osease, que si descompnemos 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 y vemos que 7 no aparece ahí, entonces en 180² = ( 2 · 2 · 3 · 3 · 5 )² = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5, en esta lista 7 sigue sin aparecer. Al reves también. Si un primo aparece al descomponer un cuadrado de un número, entonces ese primo tiene que aparecer al descomponer el número sin elevar al cuadrado, porque el cuadrado es repetir la lista dos veces, entonces si un primo aparece ahí, de hecho tiene que aparecer dos veces.

Lo vamos a hacer por reducción al absurdo, vamos a suponer algo y luego vamos a ver que es idiota suponer eso, así que eso no es cierto, entonces si no es cierto, es falso. Pero paso a pasito. Tenemos un número primo p, vamos a suponer que la raíz cuadrada de p no es un número irracional, osease que vamos a suponer que la raíz cuadrada de p es racional. Entonces como es racional, tiene que ser que (raíz de p) = q/r para algunos q y r enteros (porque esto es ser un racional) pero tomamos la expresión en la que q y r no tienen factores en común. Entonces nos quitamos la raíz de encima elevando al cuadrado para otener que p = q²/r² entonces despejamos a q² para obtener que p · r² = q², aqui notamos que como p es un primo, entonces p aparece en la descomposición de q² y de hecho también en la descomposición de q (sin el cuadrado). Perfecto, nada fuera de lo normal. Esperate, si aparece en la descoposición de q, tendríamos que q = p · S, donde S es el resto de la descomposición. Entonces tendríamos que p · r² = q² = (p · S)² = p² · S². Entonces, pasamos la p de p · r dividiendo y tenemos que r² = p · S² (donde esta p ya no está al cuadrado). Y otra vez, notamos que como p es un primo, p tiene que aparecer en la descomposición de r² y por ende también de r (sin el cuadrado). Entonces tenemos que el primo p aparece en la descomposición de q y en la descomposición de r. Si recuerdas habiamos tomado q y r de tal manera que no apareciera ningún primo en común pero acabamos de encontrar uno. Esto es absurdo (porque no puede estar y no estar al mismo tiempo), así que lo que supusimos es idiota y por ende falso.

Así que no es cierto que la raíz cuadrada de un primo sea racional, entonces no le queda de otra sino ser IRRACIONAL.. Se puso largo y confuso pero al final ya está el resultado.