Despues de varios dias (dos para ser exactos) de hacer cosas lindas por el blog (ya entendí como funcionan los widgets del wordpress), pueden ver un lindo widget nuevo que les muestra lo que estoy escuchando con la letra (si está disponible). Así que en el mood de ‘muahaha, estoy de buenas y todos lo sufrirán’, decidí hacer otro post en modo populista, esta vez no es tan horrendo como los anteriores, es mas como algo para que nos relajemos todos en un viernes por la noche donde sigo sobrio pero no por mucho. Se trata de entender porque los numeros son infinitos (prometo la proxima vez hacer algo que no tenga que ver con numeros e infinito, tal vez algo de geometria o algebra). Entonces que es lo que vamos a necesitar:

• Entender que si tenemos un número (n), entonces el siguiente (n+1) es mas grande (n < n + 1) y no puede ser de otra manera, cosa que espero les sea obvia a todos
• Entender que es una demostración por contradiccon o reducción al absurdo.

Como el primer ingrediente es obvio, enfoquemonos en entender el segundo. Una demostración por reducción al absurdo es algo bastante sencillo, queremos probar que si ‘algo pasa’ entonces ‘otra cosa tiene que pasar’, asi que simplemente suponemos que ‘algo pasa’ y que no es cierto que ‘otra cosa tiene que pasar’, es decir que suponemos la hipotesis y negamos la tésis y el chiste es que si esto nos lleva a algo estupido, absurdo o que vaya en contra de algo sensato es porque lo que supusimos está mal así que el contrario es verdadero y el contrario es que si ‘algo pasa’ entonces ‘otra cosa tiene que pasar’ que es lo que queremos. Si, está bastante enredado pero piensalo y verás que es cierto.

Ahora si, como vamos a probar que los números son infinitos, primero necesitamos entender de que numeros estamos hablando (naturales, racionales, irracionales, enteros, complejos) y que significa que sean infinitos. Para evitarnos complicaciones por números estaremos hablando de los números Naturales, y ¿cómo podriamos decir que son infinitos?, pues diciendo que siempre existe un numero siguiente al que escogamos, así cualquiera que tomemos tiene un siguiente y este uno siguiente y ese otro siguiente y así ad infinitum. Entonces de lo que queremos convencernos es que para cualquier numero que tomemos, existe otro número que es más grande. Bastante fácil, ¿verdad?.

Pues no te hubiera aventado el rollo de las demostraciones por reducción al absurdo sino las fueramos a usar. Así que vamos a suponer lo que es equivalente a que no sean infinitos los numeros, osease que exista un número que tenga la propiedad que todos los múmeros sean mas chicos que él. Osease que ese número sea EL más grande de todos los números.

Y que vamos a hacer con ese número (llamémoslo n), pues fácil, tomamos el siguiente (n+1) pero como ese número es más grande que todos, entonces tiene que pasar que el siguiente (n+1) sea mas chico que tal numero (n), pero entonces notamos lo idiota (absurdo) que se escucha eso (n+1 < n) porque el siguiente por eso es el siguiente, tiene que ser más grande y no puede ser más pequeño. Y ahí tienen su absurdo así que no es cierto que los numeros no sean infinitos con lo que deducimos que efectivamente los números son infinitos (por lo menos los naturales).

Eso está muy bien, ya tenemos que los números Naturales son infinitos ¿cómo saber que todos los otros también son infinitos? Por suerte esta es más sencilla de responder entendiendo que si un conjunto está contenido en otro entonces el segundo tiene por lo menos el mismo número de elementos que el primero (porque es un pedazo). Así que como
los naturales estan contenidos en los enteros que estan contenidos en los racionales que están contenidos en los reales que están contenidos en los complejos
y como el primero (los naturales) es infinito, entonces los enteros son infinitos entonces los racionales son infinitos con lo que los reales son infinitos y tambien los complejos son infinitos.

De hecho hasta los racionales (incluso), todos tienen el mismo numero de elementos (algo desordenados pero ahí están), donde se da el salto de ‘aqui para acá ya no son los mismos’ es de los racionales a los reales que ya no son númerables. pero esa es harina de otro costal.

Muy bien, creo que eso es todo para una noche de viernes. Un saludo a todos.

Ya el blog tiene un tema mas ad-hoc con el diseño del sitio y como eso es motivo de fiesta (me tarde como 3 dias en hacerlo, jajaja) aqui les dejo otra entretenida lectura de matematicas.

Un detalle (detalle, aja) que me faltó en la ‘prueba’ de la no-numerabilidad de los reales era convencerlos a todos que habia tantos racionales como naturales, creo que es una de las pruebas que no siempre son claras o por lo menos sorprendentes y no es fácil encontrarlas en la red. Ahora, ¿Cómo hacer para contar los racionales?

Primero quedemos en cuenta que los racionales los veremos como un conjunto de pares de enteros donde el segundo de los enteros que tomemos (por cada parejita) no debe ser cero (no queremos dividir entre cero) y para obtener el racional asociado a esa pareja de enteros, solo lo haremos con el primer entero entre el otro. Ya los estoy escuchando, no mames, esa no es una definicion formal, así no se hace, deja de decir pendejadas. De todos modos, cualquiera que crea que estoy mal es porque es feo y estúpido, ademas nadamas quiero que lo entiendan y no caerles bien. Ademas vamos a pedirles otra condicion, que el racional este simplificado, osease que si tomamos 2/4, en vez de ese tomemos 1/2 pues 1/2=2/4 pero 1/2 es mas facil de manejar. Entonces ya quedamos en como vamos a tomar los racionales.

Antes de correr a la demostracion, necesitamos hacer notar unas cuantas cosas y dar un par de definiciones. La primera definicion que necesitamos es la de funcion. Una funcion es una regla para asignar elementos de un conjunto a otro. – Ahora resulta que si vas a ser formal con las cosas, regresate y arregla la definicion de los racionales. – Oh, ¿me vas a dejar hablar?. En cristiano, tenemos un conjunto A y de sus elementos dibujamos flechas hasta otro conjunto B de modo que de cada elemento de A salga una flecha y una nadamás a un elemento de B, nota que las flechas no tienen porque terminar en elementos distintos de B, varios pueden ir al mismo y eso no está mal, pero de hecho es exactamente lo que no queremos, queremos el tipo de funciones con las que podemos distinguir los elemtnso que se van mandando, osease que si no tomamos elementos distintos de A, queremos que vayan a elementos distintos de B, es decir, que no se repitan los elementos con los que ya se hayan mandado con la funcion. A este tipo de funciones las llamaremos funciones inyectivas.

- Inyec¿Qué?. – In-yec-ti-vas, que literalmente puedes inyectar los elementos de A en un pedazo de (si no es que todo) B. – Y esas de que me van a servir. – Muy facil, hay que notar que al hacer este proceso de inyectar los elementos de A en B mediante una funcion inyectiva, se cubre una parte de B aunque no necesariamente todo pero la parte que se cubre tiene tantos elementos como los que tiene A y esto nos va a servir para saber cuando un conjunto tiene más elementos que otro. De hecho así lo vamos a definir, un conjunto A tiene cuando mucho más elementos que otro conjunto B si existe una funcion inyectiva de A en B. Aqui es donde se pone sabroso todo porque esencialmente no podemos decir que como no se nos ocurre una funcion inyectiva entre dos conjuntos no la hay, si no la hay tendremos que probar que no existe ninguna. Aunque creo que no necesitaremos ese hecho.

Ahora viene el acto de fe. Supongamos que existe una funcion inyectiva de A en B y otra funcion, tambien inyectiva de B en A. entonces por la primera funcion, A tiene a lo mas el mismo numero de elementos que B y por la segunda funcion, B tiene a lo mas el mismo numero de elementos que A, entonces, clarisimamente A y B tienen el mismo numero de elementos, por lo menos es claro cuando tienen un numero finito de elementos, el acto de fe viene cuando consideramos que A y B pueden ser infinitos, el resultado se debe a uno de los grandes entre grandes, Georg Cantor y solo lo supondremos. Osease que si hay funciones inyectivas entre A y B hacia los dos lados, diremos que A tiene tantos elementos como B.

Aclarado el asunto, solo tenemos que encontrar funciones inyectivas entre los naturales y los racionales y viceversa. empezemos haciendo notar que si encontramos una funcion inyectiva entre A y una parte (subconjunto) de B, esto tambien es una funcion inyectiva entre A y B aun cuando solo cubramos una parte. Y para ver lo facil que va a ser todo despues de haber notado lo anterior empecemos con lo que nos importa.

Para ver que hay una funcion inyectiva de los naturales en los racionales no hay mas que notar que a cada natural n, lo podemos mandar en el racional n/1. Es inyectiva pues manda distintos naturales en distintos racionales. – Jajaja, no, no puede ser tan facil. – Si, ya lo discutimos, por eso empezamos con esta para sentir que avanzamos. La otra es la que se pone sus moños. Por lo menos ya tenemos que los racionales son por lo menos del tamaño de los naturales.

Ahora veamos como hacer una funcion inyectiva entre los racionales y los naturales. Ya habiamos quedado que los racionales eran parejas de enteros, digamosles p/q donde q no puede ser cero. Ahora, como son enteros hay varias posibilidades: que sean positivos o negativos. Entonces solo es mandar racionales dependiendo del signo que tengan sus partes, los multiplicamos y quedaria algo así: Si p es negativo lo mandamos a 2^-p, si p es positivo o cero lo mandamos a 3^p, si q es negativo lo mandamos a 5^-q, si q es positivo lo mandamos a 7^q. Entonces 3/5 se manda a 3³7⁵, -8/-11 se manda a 2⁸5¹¹, 0/59 se manda a 3⁰7⁵⁹, etc, etc. Es inyectiva pues estamos multiplicando numeros primos y si multiplicas distintos numeros primos distinto numero de veces te da oviamente distintos numeros por cada distinta paraja escogida, de hecho esto se justifica por el Teorema fundamental de la aritmetica., Entonces tenemos una funcion inyectiva de los racionales en una parte de los naturales por tanto hay una funcion inyectiva de los racionales en los naturales.

Esto y el argumento anterior nos dice que hay el mismo numero de naturales que de racionales. Es decir, hay una funcion biyectiva (biyeccion) entre los naturales y los racionales.

Jaja, estuvo menos horrible de lo que esperaba, espero te haya entretenido un rato leyendolo como yo escribiendolo.