Despues de varios dias (dos para ser exactos) de hacer cosas lindas por el blog (ya entendí como funcionan los widgets del wordpress), pueden ver un lindo widget nuevo que les muestra lo que estoy escuchando con la letra (si está disponible). Así que en el mood de ‘muahaha, estoy de buenas y todos lo sufrirán’, decidí hacer otro post en modo populista, esta vez no es tan horrendo como los anteriores, es mas como algo para que nos relajemos todos en un viernes por la noche donde sigo sobrio pero no por mucho. Se trata de entender porque los numeros son infinitos (prometo la proxima vez hacer algo que no tenga que ver con numeros e infinito, tal vez algo de geometria o algebra). Entonces que es lo que vamos a necesitar:
- Entender que si tenemos un número (n), entonces el siguiente (n+1) es mas grande (n < n + 1) y no puede ser de otra manera, cosa que espero les sea obvia a todos
- Entender que es una demostración por contradiccon o reducción al absurdo.
Como el primer ingrediente es obvio, enfoquemonos en entender el segundo. Una demostración por reducción al absurdo es algo bastante sencillo, queremos probar que si ‘algo pasa’ entonces ‘otra cosa tiene que pasar’, asi que simplemente suponemos que ‘algo pasa’ y que no es cierto que ‘otra cosa tiene que pasar’, es decir que suponemos la hipotesis y negamos la tésis y el chiste es que si esto nos lleva a algo estupido, absurdo o que vaya en contra de algo sensato es porque lo que supusimos está mal así que el contrario es verdadero y el contrario es que si ‘algo pasa’ entonces ‘otra cosa tiene que pasar’ que es lo que queremos. Si, está bastante enredado pero piensalo y verás que es cierto.
Ahora si, como vamos a probar que los números son infinitos, primero necesitamos entender de que numeros estamos hablando (naturales, racionales, irracionales, enteros, complejos) y que significa que sean infinitos. Para evitarnos complicaciones por números estaremos hablando de los números Naturales, y ¿cómo podriamos decir que son infinitos?, pues diciendo que siempre existe un numero siguiente al que escogamos, así cualquiera que tomemos tiene un siguiente y este uno siguiente y ese otro siguiente y así ad infinitum. Entonces de lo que queremos convencernos es que para cualquier numero que tomemos, existe otro número que es más grande. Bastante fácil, ¿verdad?.
Pues no te hubiera aventado el rollo de las demostraciones por reducción al absurdo sino las fueramos a usar. Así que vamos a suponer lo que es equivalente a que no sean infinitos los numeros, osease que exista un número que tenga la propiedad que todos los múmeros sean mas chicos que él. Osease que ese número sea EL más grande de todos los números.
Y que vamos a hacer con ese número (llamémoslo n), pues fácil, tomamos el siguiente (n+1) pero como ese número es más grande que todos, entonces tiene que pasar que el siguiente (n+1) sea mas chico que tal numero (n), pero entonces notamos lo idiota (absurdo) que se escucha eso (n+1 < n) porque el siguiente por eso es el siguiente, tiene que ser más grande y no puede ser más pequeño. Y ahí tienen su absurdo así que no es cierto que los numeros no sean infinitos con lo que deducimos que efectivamente los números son infinitos (por lo menos los naturales).
Eso está muy bien, ya tenemos que los números Naturales son infinitos ¿cómo saber que todos los otros también son infinitos? Por suerte esta es más sencilla de responder entendiendo que si un conjunto está contenido en otro entonces el segundo tiene por lo menos el mismo número de elementos que el primero (porque es un pedazo). Así que como
los naturales estan contenidos en los enteros que estan contenidos en los racionales que están contenidos en los reales que están contenidos en los complejos
y como el primero (los naturales) es infinito, entonces los enteros son infinitos entonces los racionales son infinitos con lo que los reales son infinitos y tambien los complejos son infinitos.
De hecho hasta los racionales (incluso), todos tienen el mismo numero de elementos (algo desordenados pero ahí están), donde se da el salto de ‘aqui para acá ya no son los mismos’ es de los racionales a los reales que ya no son númerables. pero esa es harina de otro costal.
Muy bien, creo que eso es todo para una noche de viernes. Un saludo a todos.
Hola Nocturno:
Loable tu inquietud de preguntarte ¿porqué los números son infinitos?… En mi caso particular creo que la particularidad de los números, de ser infinitos, se debe a la dinámica con que los números son producidos por la conciencia… Pienso que los números son producidos por la conciencia mediante una dinámica de giro y, precisamente, en el mecanismo de cómo se articula el giro es donde la génesis de un número n arrastra inexorablemente la génesis del subsiguiente n+1… Algo así como que el número n+1 es un subproducto de la formación del número n… Podemos intercambiar al respecto, estimado Nocturno.
Saludos.
Aunque de un número n, siempre puedes obtener el siguiente n+1 (dependiendo como hayas construido al anterior), el problema es que solamente puedes obtener de esta manera un número finito de cosas, por lo menos necesitas suponer que existe un conjunto que sea realmente infinito para que puedas probar que los números y todas las cosas infinitas son infinitas.
Para todo se necesita un punto de donde partir, una regla que sea clara e intuitiva para que todos partamos de ahí. Eso cuenta como conciencia colectiva ¿no?
Aclarando que de matematicas solamente se sumer restar y multiplicar (soy publicista):
pero dando por hecho que los numeros son infinitos (y claro que estamos de acuerdo con eso)…..
En que momento de 1, 1.9, 1.99, 1.99999..etc llegamoas al 2…
Osea en que momento se terminan los decimales.
Se que de manera practica pasamos del 1 al 2 (aquiles alcanza a la tortuga y yo no me pondria frente a una flecha). pero de manera teorica como podemos entenderlo?
Mil gracias y un saludo.
Un placer Gabriel y bienvenido.
De hecho eso no es tán sencillo como parece, bueno, la idea es bastante sencilla pero la demostración formal del porqué se puede hacer _eso_ de _esa_ manera no es para estas horas.
La idea es, como bien lo habias deducido, aumentarle decimales y decimales al número. 1, 1.9, 1.99, 1.999, 1.9999, 1.99999, ……. El chiste es que cuando le aumentas un número infinito de decimales (osease 1.9999999999…. y nueves seguidos de nueves ad infinitum) ese número deja de ser el 1.99999… para convertirse en el 2 (pero solo hasta que tiene una infinidad de decimales con 9), es como tener dos nombres para la misma cosa. El porqué es bastante simple si lo piensas un rato. imaginate que al 1.9999999…. le quitas cualquier cantidad (por mínima que sea) te daría un número menor que 2, y si le agregas cualquier cantidad (por mínima que sea) esto te dá un número mayor que 2.
Entonces, el 1.9999999999….. no es mayor que 2 pero tampoco es menor que 2. Y como tiene que caer en algún lugar y el único que le queda disponible es ser especificamente 2. El truco está en notar que cualquier cantidad de decimales que le pongas, mientras sea finita (que se acabe alguna vez) puedes encontrar otro número que esté entre ese número y el 2, así que la única solución sería ponerle un número infinito de decimales todos 9.
Espero haberme dado a entender.
¡¡¡Saludos!!!
los numeros no son infinitos, son infinitamente contables.
los numeros naturales son infinitos
ke no saven aser nada buen