Ya el blog tiene un tema mas ad-hoc con el diseño del sitio y como eso es motivo de fiesta (me tarde como 3 dias en hacerlo, jajaja) aqui les dejo otra entretenida lectura de matematicas.
Un detalle (detalle, aja) que me faltó en la ‘prueba’ de la no-numerabilidad de los reales era convencerlos a todos que habia tantos racionales como naturales, creo que es una de las pruebas que no siempre son claras o por lo menos sorprendentes y no es fácil encontrarlas en la red. Ahora, ¿Cómo hacer para contar los racionales?
Primero quedemos en cuenta que los racionales los veremos como un conjunto de pares de enteros donde el segundo de los enteros que tomemos (por cada parejita) no debe ser cero (no queremos dividir entre cero) y para obtener el racional asociado a esa pareja de enteros, solo lo haremos con el primer entero entre el otro. Ya los estoy escuchando, no mames, esa no es una definicion formal, así no se hace, deja de decir pendejadas. De todos modos, cualquiera que crea que estoy mal es porque es feo y estúpido, ademas nadamas quiero que lo entiendan y no caerles bien. Ademas vamos a pedirles otra condicion, que el racional este simplificado, osease que si tomamos 2/4, en vez de ese tomemos 1/2 pues 1/2=2/4 pero 1/2 es mas facil de manejar. Entonces ya quedamos en como vamos a tomar los racionales.
Antes de correr a la demostracion, necesitamos hacer notar unas cuantas cosas y dar un par de definiciones. La primera definicion que necesitamos es la de funcion. Una funcion es una regla para asignar elementos de un conjunto a otro. – Ahora resulta que si vas a ser formal con las cosas, regresate y arregla la definicion de los racionales. – Oh, ¿me vas a dejar hablar?. En cristiano, tenemos un conjunto A y de sus elementos dibujamos flechas hasta otro conjunto B de modo que de cada elemento de A salga una flecha y una nadamás a un elemento de B, nota que las flechas no tienen porque terminar en elementos distintos de B, varios pueden ir al mismo y eso no está mal, pero de hecho es exactamente lo que no queremos, queremos el tipo de funciones con las que podemos distinguir los elemtnso que se van mandando, osease que si no tomamos elementos distintos de A, queremos que vayan a elementos distintos de B, es decir, que no se repitan los elementos con los que ya se hayan mandado con la funcion. A este tipo de funciones las llamaremos funciones inyectivas.
- Inyec¿Qué?. – In-yec-ti-vas, que literalmente puedes inyectar los elementos de A en un pedazo de (si no es que todo) B. – Y esas de que me van a servir. – Muy facil, hay que notar que al hacer este proceso de inyectar los elementos de A en B mediante una funcion inyectiva, se cubre una parte de B aunque no necesariamente todo pero la parte que se cubre tiene tantos elementos como los que tiene A y esto nos va a servir para saber cuando un conjunto tiene más elementos que otro. De hecho así lo vamos a definir, un conjunto A tiene cuando mucho más elementos que otro conjunto B si existe una funcion inyectiva de A en B. Aqui es donde se pone sabroso todo porque esencialmente no podemos decir que como no se nos ocurre una funcion inyectiva entre dos conjuntos no la hay, si no la hay tendremos que probar que no existe ninguna. Aunque creo que no necesitaremos ese hecho.
Ahora viene el acto de fe. Supongamos que existe una funcion inyectiva de A en B y otra funcion, tambien inyectiva de B en A. entonces por la primera funcion, A tiene a lo mas el mismo numero de elementos que B y por la segunda funcion, B tiene a lo mas el mismo numero de elementos que A, entonces, clarisimamente A y B tienen el mismo numero de elementos, por lo menos es claro cuando tienen un numero finito de elementos, el acto de fe viene cuando consideramos que A y B pueden ser infinitos, el resultado se debe a uno de los grandes entre grandes, Georg Cantor y solo lo supondremos. Osease que si hay funciones inyectivas entre A y B hacia los dos lados, diremos que A tiene tantos elementos como B.
Aclarado el asunto, solo tenemos que encontrar funciones inyectivas entre los naturales y los racionales y viceversa. empezemos haciendo notar que si encontramos una funcion inyectiva entre A y una parte (subconjunto) de B, esto tambien es una funcion inyectiva entre A y B aun cuando solo cubramos una parte. Y para ver lo facil que va a ser todo despues de haber notado lo anterior empecemos con lo que nos importa.
Para ver que hay una funcion inyectiva de los naturales en los racionales no hay mas que notar que a cada natural n, lo podemos mandar en el racional n/1. Es inyectiva pues manda distintos naturales en distintos racionales. – Jajaja, no, no puede ser tan facil. – Si, ya lo discutimos, por eso empezamos con esta para sentir que avanzamos. La otra es la que se pone sus moños. Por lo menos ya tenemos que los racionales son por lo menos del tamaño de los naturales.
Ahora veamos como hacer una funcion inyectiva entre los racionales y los naturales. Ya habiamos quedado que los racionales eran parejas de enteros, digamosles p/q donde q no puede ser cero. Ahora, como son enteros hay varias posibilidades: que sean positivos o negativos. Entonces solo es mandar racionales dependiendo del signo que tengan sus partes, los multiplicamos y quedaria algo así: Si p es negativo lo mandamos a 2-p, si p es positivo o cero lo mandamos a 3p, si q es negativo lo mandamos a 5-q, si q es positivo lo mandamos a 7q. Entonces 3/5 se manda a 3375, -8/-11 se manda a 28511, 0/59 se manda a 30759, etc, etc. Es inyectiva pues estamos multiplicando numeros primos y si multiplicas distintos numeros primos distinto numero de veces te da oviamente distintos numeros por cada distinta paraja escogida, de hecho esto se justifica por el Teorema fundamental de la aritmetica., Entonces tenemos una funcion inyectiva de los racionales en una parte de los naturales por tanto hay una funcion inyectiva de los racionales en los naturales.
Esto y el argumento anterior nos dice que hay el mismo numero de naturales que de racionales. Es decir, hay una funcion biyectiva (biyeccion) entre los naturales y los racionales.
Jaja, estuvo menos horrible de lo que esperaba, espero te haya entretenido un rato leyendolo como yo escribiendolo.
chale, esta rifada tu respuesta… y no soy feo ni estupido pero eso no es una definicion formal hehehe… no, fuera de mamadas chida tu respuesta.
No entiendo en absoluto tu función de los racionales a los naturales:
“Si p es negativo lo mandamos a 2-p, si p es positivo o cero lo mandamos a 3p, si q es negativo lo mandamos a 5-q, si q es positivo lo mandamos a 7q.”
Entonces, si tengo 3/5, el número al que me envía, como p=3>0 y q=5>0, es: (3)——>(3)(3)=9
(5)——>(7)(5)=35 => 3/5—>9/35
Lo cual, es muy distinto al 3375 que mencionas, podrías ser más específico en tu función??? o, es posible, yo no entendí bien la asociacion, podrías explicarmela???
Tienes los dedos llenos de razón, es un error de mi parte. Olvidé ponerle los estilos a los exponentes y salen al mismo nivel que los caracteres, lo correcto sería: 2^{-p}, 3^p, 5^{-q} y 7^q. Mis más sentidas disculpas por el error de notación y mis más sinceras gracias por haberlo notado.
En proceso de arreglarlo. Saludos.
Sería mejor si sacas los comentarios fuera de lugar. Buen trabajo.