¿Qué tan grande es el infinito?

Estás en el kinder, eres un chico contento, tu mamá te pone un sandwich de mermelada para el almuerzo, tienes varios amiguitos con los que juegas y para que hacerlo largo, no tienes preocupación alguna. Empieza la clase, la dientona de tu maestra empieza a hacer ejercicios de contar. – A ver niños, vamos a contar hasta el 10… 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Tú no le haces caso, eso de contar nunca fue lo tuyo y mejor ver los dibujos de colores en la pared. – Heberto, ¿Qué estás haciendo?. Te acaba de caer la voladora, te agarraron papando moscas y seguramente te van a castigar. – Nada miss. – A ver, pasa al pizarrón. Es tú perdición, no puedes evitarlo, solo pedir a dios sea clemente. – Me vas a decir si hay el mismo numero de niños que de balones. Todas tus esperanzas se acaban de ir por el caño, esperan que cuentes y hay montones de niños y montones de pelotas en ese pizarron y tú solo sabes contar hasta 3, maldices a dios por haberte puesto en esa situación, te sudan las manos y estas a punto de llorar, se empiezan a poner cristalinos tus ojos, te tiembla el labio y cuando el mundo se caía ante tí, se te ocurre la genial idea de unir los niños con los balones, pues si sobran niños o balones es seguro que no hay el mismo número. Antes que se le ocurra algo peor corres y pintas las líneas, sorprendentemente si había el mismo numero de niños que balones. Respondes que sí y puedes seguir en tu fuerte que es la contemplación pensando en la inmortalidad del cangrejo. Que suertudo.

Todo esto nadamas para aclarar un punto que será de donde partiremos hacia el mágico mundo de las matemáticas. El concepto que el pequeño Heberto usó se llama biyección (suena bastante feo pero veras que es bastante natural), las biyecciones necesitan dos conjuntos de cosas (numeros y letras, niños y balones, puertas y llaves) donde los dos conjuntos de cosas no tienen por que ser distintos. Entonces diremos que entre dos conjuntos (llamemoslos A y B) de cosas hay una biyeción si a cada elemento de A (balón) le podemos asignar ‘de alguna manera’ uno y solo uno de los elementos de B (niño). Ahora en cristiano que sino no entiendo, una biyección es el pintar lineas desde cada balón hasta cada niño, que a cada uno le toque solo uno, que nadie se quede solito, no va a haber niño sin balón ni balón sin niño.

Tienes 5 manzanas. – ¿Cómo sabes que son 5?. – No me puedes engañar, las estoy viendo, 1, 2, 3, 4, 5, si son 5. Entonces te acuerdas que ya leiste el parrafo anterior y empiezas a relacionar que a cada manzana (A) le asociaste ‘de alguna manera’ un número y solo un número (B), así que hay una biyección entre las manzanas que tienes y los numeros del 1 al 5. Más aún, empiezas a ver que muchas otras cosas también son una biyección, por lo menos todas las cosas que puedes contar son una biyección. Que bueno pero ya entrados en gracia, y ¿si no pudieras contar las cosas?, ¿qué pasa cuando ni por error puedes contar todas las cosas que necesitas contar?. Primero dejemos a un lado los casos patológicos como los pelos de un gato o los granos de arena en un desierto, si empezaras a contar todo eso eventualmente terminarias (o se muere el gato), con el suficiente tiempo es posible hacer la tarea (suficiente no quiere decir prudente) e independientemente de lo que creas del universo o del numero de estrellas que hay en él. Me refiero a casos donde realmente tengamos la certeza que no puedas nunca nunca de los nuncas nuncas terminar de contar las cosas que tengas que contar, por ejemplo, contar, debe ser claro que aunque lo intentes e intenes, no vas a poder de acabar de contar todos los números, siempre hay otro más grande y de ese siempre hay otro más grande y otro y otro. Osease que los números son infinitos. Ahora viene la pregunta del millón, ¿que es infinito?.

Seguramente debes tener una idea de lo que es el infinito, incluso Buzz Lightyear lo usaba, “al infinito y más allá”, lo entretenido estaba en que no hay nada ‘más allá’ del infinito. Esperame tantito, ¿cuándo has ido al infinito para saber?, es claro que existe algo infinito, algo que es más grande de lo que podríamos hacer, contar por ejemplo, ¿y no hay nada más allá? Todo depende de cuanta imaginación tengas. Antes de seguir con todo esto, definamos que un conjunto es infinito cuando, sin importar que numero tomemos, no podamos hacer una biyección entre el conjunto y los numeros anteriores al numero que escogiste. Se ve algo complicada, expliquemos, supon que tienes todos los numeros naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ……… ) un conjunto es infinito si cuando tomas el 9, no puedes hacer corresponder a todos los miembros del conjunto con los numeros del 0 al 9, y así con cualquier número que agarres. Entonces el conjunto va a tener siempre más elementos de los que podamos contar, así que no le queda de otra sino ser infinito. Antes de convencerte que hay algo más grande que el infinito tan natural que ya no es, necesito presentarte otro conjunto de numeros, vamos despacio, no hay prisa.

Los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ……… ) son tán útiles, podemos sumarlos, multiplicarlos y sorprendentemente la suma siguie siendo un numero natural, 3 + 2 = 5, 8 por 4 es 32, que bueno, uno esperaría que al jugar con números sigan siendo números tras los pases mágicos de la suma, incluso hasta podemos restarlos, como 9 menos 2 que es 7 o 3 menos 8 que es menos 5, y ¿que es un menos 5?, eso no es para nada natural, de hecho ni siquiera aparece en la lista que dimos, entonces aunque muy practicos, necesitamos un conjunto más grande. Entonces como somos muy buenos en esto, creamos a los enteros como unos numeros naturales para un lado y les pegamos otros naturales para el otro, algo así:
……., 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……
- No, esperate, ya los repetiste. – Bueno, entonces a los que vayan al revés de los que van naturalmente los marcamos como vacas, algo así:
……., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……
bien, ahora es más fácil notar donde está cada cosa. Ahora veamos, si los naturales ya eran infinitos, los enteros que acabamos de hacer son como doblemente infinitos (al infinito y mas allá, jajaja).

Antes de responder eso veamos un ejemplo de biyección con los naturales, antes habiamos dicho que para asignar ‘de alguna manera’ no era necesario que los conjuntos fueran distintos, entonces usemoslo. Si tomamos la secuencia de numeros pares 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …….. es claro que podemos seguir esa secuencia infinitamente. – Aguanta, aguanta, ya me estas confundiendo, no que era infinito y luego doblemente infinito y ahora un pedazo es igual infinito y no, no, no, ya explicame bien. – Mira, a lo que quiero llegar es a que todos esos infinitos miden lo mismo. – Y ¿como le vas a hacer?. – Hazme caso. Para ver que estos son igual de infinitos, pues bien fácil, hacemos lo mismo que el pequeño Heberto, ponemos lineas.

1 -> 2
2 -> 4
3 -> 6
4 -> 8
………
15 -> 30
…………
Así hasta el infinito, podemos solo dibujar unas cuantas e imaginar el resto porque tenemos más capacidad de abstracción que el pequeño Heberto. Entonces a cada numero natural le podemos asociar un numero par, es decir, tenemos una biyección entre los numeros naturales y los numeros pares, así que deben tener el mismo tamaño. – Entonces ¿dices que hay el mismo número de pares que de todos los números?. – Exactamente. – Aguanta, eso no pasa, de 5 manzanas no puedo agarrar unas cuantas, dejar otras y me sigan quedando 5 en cada lado. – Sorprendentemente, eso si pasa con los conjuntos infinitos, si puedes agarrarte un pedazo infinito del conjunto y te pueden sobrar un numero infinito, de hecho eso es algo que caracteriza a los conjuntos infinitos y cuando veas que se puede hacer algo así es porque el conjunto tiene que tener un numero infinito de elementos.

Imagina que tienes un hotel con tantos cuartos como numeros naturales y todos están numerados (un clásico), como das el mejor servicio del mundo tienes lleno el hotel, de repente llega un nuevo huesped, das el mejor servicio del mundo y no puedes negarle un cuarto, ¿que vas a hacer?, la respuesta es muy sencila, a cada cliente le dices que el cuarto siguiente es mucho mejor y por una promoción les darás ese cuarto y a los recien llegados los pones en el primero, siempre hay un cuarto siguiente así que siempre se pueden mover y entonces no por nada das el mejor servicio del mundo. Y ¿si llegan tantos clientes nuevos como numeros naturales? (si, ya se puso raro pero tambien tienes un hotel infinito) tienes que conservar tu estatus como el mejor hotelero, entonces le das otra gran promocion a tus clientes, como los cuartos con numero mayor siempre son mejores, les dices que pueden cambiarse al numero de cuarto que tengan por 2, osease que si están en el cuarto 3, pueden cambiarse al 6, si estan en el 25 al 50, el 138 al 276. Así que ahora solo tienes ocupados los cuartos pares, adivina donde vas a poner a los otros huespedes. – En los impares. Exactamente, habían llegado huespedes como números, así que les decimos que (como van todos numeraditos), se pongan de la siguiente manera: el 1 al 3, el 2 al 5, el 3 al 7, ….. osease que cualquiera lo mandamos a un cuarto impar y gracias a tu ingenio sigues siendo el mejor hotelero.

Si lo notaste, a un conjunto infinito le pegamos otro conjunto infinito y seguian siendo el mismo ‘número’ de elementos, lo mismo pasa con los enteros, son dos infinitos igualitos pero pegados, solo hay que acomodarlos de la manera correcta, un infinito a los pares y otro a los impares. – Entonces me engañaste, igual si le pego otro de esos infinitos va a seguir siendo el mismo, si entendí bien. – Entendiste bien, pero solo estas pensando que hay ‘ese’ infinito, ¿como sabes que no hay otros?. – Como Santo Tomás, hasta no ver no creer. Así que ¿como hacerte creer que hay cosas más grandes que infinito?. Para entenderlo bien, vamos a necesitar entender lo que es un número irracional. – Eso ya lo sé, es como cuando agarraron a mi tío el que se creía buzón foraneo. – Mejor vamos un poquito mas atrás, veamos primero lo que es un número racional, nú-me-ro.

Entonces con los números enteros ya podiamos hacer restas y nos seguían dando numeros enteros, ahora con estos podemos aumentar los horizontes para intentar dividir, podemos dividir 8 entre 2 y nos da 4, 15 entre 3 nos da 5, 3 entre 2 nos da, nos da, ¿nos da?. – No, otra vez ni dividir sabes, da 1.5. – Pero ese número no está en la lista. Entonces hacemos más grande al conjunto de enteros agregandole todas las divisiones posibles entre enteros (exceptuando el dividir entre 0), a este nuevo conjunto les decimos racionales, hay muchos más que enteros pero todos bien ordenaditos. ¿Qué le agregamos? le agregamos el 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, … 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, … 1567/1684, 12364/4987 además de los respectivos negativos. Ahora sí que le agregamos muchos más y sorprendentemente sigue siendo exactamente el mismo infinito. No quiero ahondar mucho en porque es así pues es algo largo de explicar, si te interesa puedes buscar ‘numerabilidad de los racionales’ y seguro te aclarará mucho, solo creeme que hay tantos naturales como racionales. – No, ya se puso largo todo esto y ni me dices cuales son los infinitos extra jumbo. – No te desesperes, que ya vamos para allá.

Si te das cuenta, empezamos con los numeros hasta el 10, esos eran fáciles. Luego el infinito (naturales), luego dos infinitos (enteros), luego un infinito numero de infinitos (racionales) y todos son lo mismo, podría parecer que no se puede ir más lejos. Supongo que has oido hablar de pi, hasta una película tiene. Pi es un número irracional porque no es posible acabar nunca de escribir todos sus decimales y no tienen ninguna repetición o secuencia, no es posible verlo como la división de dos enteros (como los racionales). Y ¿como saben que existe? se ha estimado su valor, que exactamente se puede conseguir así: En una hoja cuadriculada (por practicidad solamente), pinta un segmento de 1 cm, con la punta de un compás en un extremo del segmento y la otra al otro lado, haz la circunferencia, toma un trozo de hilo para ponerlo alrededor del circulo y exactamente una vuelta despues tendrás un hilo que mide pi. Este no es el único irracional que existe, tambien son irracionales raiz de dos, raiz de tres, raiz de 17, raiz de cualquier numero primo, y hay montones de constantes importantes que son irracionales, además un racional más un irracional es un irracional y racional por irracional es irracional, lo cuál agrega una infinidad extra de irracionales, y de hecho esto agrega muchos más de los que uno esperaría, a todo este conjuntote de números naturales, enteros, racionales e irracionales les llamamos numeros reales y es un conjunto con más elementos que el infinito que ya dominabamos. Esta es la parte realmente entretenida de ver, un infinito que supera al infinito normal (si, como los supersayajin).

Como podemos ver que este infinito es más grande, pues como lo dijo el pequeño Heberto, “si sobran niños o balones es seguro que no hay el mismo número”. – Pero son un numero infinito. – Si pero esa es la parte que hay que entender. Mejor vamos a hacerlo despacito. Vamos a ver que de hecho cualquier trozo (decente) de numeros reales es más grande que el infinito ya tratado.

Vamos a ver todo por partes, primero vamos a tomar todos los numeros reales entre 0 y 1(sin a 0 ni a 1), vamos a ver que tiene más elementos que los naturales y que tiene tantos como c los reales. Vamos por partes, primero quedemos en claro que cualquier número entre 0 y 1 lo podemos escribir como 0.1568765321….. osease 0. y una serie de decimales (cada decimal va del 0 al 9), ya sea que despues de algun momento la serie de decimales sean todos cero o que sea infinita, y en cristiano, es decir, al 0.1 le asignamos la serie infinita 0.1000000000….., al 0.35 le asignamos 0.35000000000… y a los que ya tenian una serie infinita de decimales pues se las dejamos 0.33333333333…… así que ya tenemos clasificados todos los numeros entre 0 y 1.

¿Que queremos ver? Queremos ver que si asignamos cada número entre 0 y 1 a cada natural entonces o nos van a sobrar naturales o nos van a sobrar numeros entre 0 y 1. Entonces por ahí empezamos. Supongamos que tenemos a todos los reales entre 0 y 1 enumeraditos y entonces los asignamos un numero, osease que los tenemos así: r1, r2, r3, r4, r5, ….. cada real tiene su propia serie de decimales, osease
r1 = 0.a1 a2 a3 a4 …..
r2 = 0.b1 b2 b3 b4 …..
r3 = 0.c1 c2 c3 c4 …..
…………….
Si, ya sé que empezamos con letras y con muchas pero es la unica manera que conozco para no hacerte tantas bolas con esto, ya sé, mejor les ponemos algo mas ad hoc.
r1 = 0. r1_1 r1_2 r1_3 r1_4 ……
r2 = 0. r2_1 r2_2 r2_3 r2_4 ……
r3 = 0. r3_1 r3_2 r3_3 r3_4 ……
……………..
Osease que r1_1 es el primer decimal de r1, r1_2 es su segundo decimal, etc. entonces (recuerda que tenemos a todos los numeros entre 0 y 1) con r6_17 sería el decimal 17 del número r6, r16849_156348 sería el decimal 156348 del numero r16849, bastante claro ¿verdad?. bueno, si ya los tenemos todos y asignamos a cada uno un natural. – Entonces ¿si son del mismo tamaño que los naturales?, me engañaste. – Espera, mira bien y vas a ver que no. Tenemos a todos los numeros entre 0 y 1, entonces podemos tomar el r1_1 (que es un numero entre 0 y 9) el primer decimal del primer real, lo ves y escoges un número distinto (es uno, quedan 9 posibilidades para escoger), lo anotamos en otra lista, llamemosle ‘x’ a la lista y en ves de ser una lista lo ponemos como un número, igual que los r1, r2, etc. Osease, estamos construyendo otro numero con todas las de la ley. entonces x = 0.x1 x2 x3 x4 x5… donde su primer decimal es distinto al de r1, bueno, entonces no puede ser r1, hacemos lo mismo para el siguiente decimal, vemos r2_2 y escogemos un número distinto, al número que escogimos se lo pegamos a x en el segundo decimal, entonces x no puede ser r2 (porque para que fuera igual tendría que ser igual en cada decimal) así que no es r1, no es r2. Repetimos el proceso, r3_3 lo cambiamos y se lo ponemos al 3er decimal, entonces tampoco puede ser r3, r4_4 lo cambiamos y se lo pegamos al 4to decimal de x. Así hasta completar la serie de x. ¿Que pasó? entonces tenemos a x que no puede ser ninguno de los r, entonces aunque intentamos cubrir a todos los numeros entre 0 y 1 con los naturales, de hecho nos sobraron reales, x es nadamás un ejemplo de estos, puedes cambiar cada decimal de x por otro y ya tienes otro que falta en la lista de las r, entonces si nos sobraron reales es porque tiene que haber más que los naturales. entonces hay más reales entre 0 y 1 que naturales, además que el pedazo entre 0 y 1 es nadamás un pedacito de todos los reales.

¿Ahora ya me crees que hay infinitos de distinto tamaño?. Con los reales tenemos más que con los naturales (que ya eran de por sí infinitos), este no es el unico ejemplo, de aquí podemos partir para crear infinitos cada vez más grandes y más grandes hasta llegar a un punto donde encontremos algo tan grande que sea realmente inalcanzable. Pero no nos enfocaremos a eso, si te intereza puedes buscar algo de informacion sobre ‘cardinales inalcanzables’. Mi proposito era mostrarte que había infinitos más grandes que otros y que no están tan lejos como podría parecer. Finalmente, para convencerte de que hay el mismo numero de numeros ente 0 y 1 que en toda la recta real, basta con ‘estirarla’ hasta cubrir a toda la recta, no le van a quedar huecos porque son mucisimos elementos.

Espero te haya entretenido un rato, espero la siguiente idea para otro entretenido viaje de matemáticas.